2.3. Метод перемещений

Канонические уравнения метода перемещений

, (2.13)

где - единичная матрица реакций, - матрица реакций от заданной нагрузки, Z – матрица неизвестных перемещений.

Одним из способов получения матриц, является способ вычисления коэффи­циентов и свободных членов уравнения (2.13) перемножением эпюр:

; (2.14)

(2.15)

В выражениях (2.14), (2.15) - матрица единичных эпюр изгибаю­щих моментов, столбцами этой матрицы являются ординаты единичных эпюр изгибающих моментов, построенных с помощью таблиц реакций. - грузовая матрица изгибающих моментов в любой основной системе ме­тода сил от действия заданной нагрузки. - матрица податливости, сфор­мированная из блоков (2.3), (2.4).

Решение уравнения (2.13) имеет вид

(2.16)

Расчетная матрица изгибающих моментов вычисляется по формуле

(2.17)

В (2.17) - грузовая матрица изгибающих моментов в основной сис­теме метода перемещений.

Для проверок расчетов выполняемых по формулам (2.14) – (2.15) выполняются универсальные проверки коэффициентов канонических уравнений

где - суммарная единичная матрица-столбец, в которой выписаны орди­наты эпюры, построенной по таблице единичных реакций.

После определения M_расч выполняется деформационная проверка

(2.18)

где - матрица единичных моментов, полученная в любой основной сис­теме метода сил.

В случае выполнения проверки (2.18) с точностью не хуже 3% строим эпюру Q, используя дифференциальные зависимости при изгибе

что для случаев действия на участки рамы равномерно распределенной нагрузки интенсивности q приводит к простой формуле

(2.19)

где - значения перерезывающей силы на левом и на правом концах уча­стка, l_уч- длина участка, М_прав, М_лев изгибающие моменты на правом и ле­вом концах участка.

После построения эпюры Q_расч вырезаем жесткие узлы рамы, показы­ваем внутренние и внешние силы, действующие на них, из уравнений равновесия узлов определяем нормальные силы на участках рамы, при­мыкающих к рассматриваемому узлу.

Пример №13. Построить эпюры изгибающих моментов, перерезы­вающих и нормальных сил для рамы, изображенной на Рис.2.14.

Степень кинематической неопределимости рамы n = n_у + n_л = 1+1=2.

Основная система с неизвестными Z₁ и Z₂ изображена на Рис.2.15.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки в основ­ной системе метода перемещений (Рис.2.16) и в основной системе метода сил (Рис.2.17)

Рис.2.16. Эпюра М₀

Рис.2.16. Эпюра М₀

Рис.2.17. Эпюра М^*₀

Используя таблицы реакций, строим единичные эпюры изгибающих моментов (Рис.2.18, 2.19) и суммарную единичную эпюру (Рис.2.20).

Рис.2.18. Эпюра М₁

Рис.2.19. Эпюра М₂

Рис.2.20. Эпюра М_s

На Рис.2.18 – 2.20 . Формируем матрицы , , , :

Перемножим матрицы

Выполним универсальную проверку найденных коэффициентов:

Проверки единичных и грузовых коэффициентов выполняются, так как

Обратная матрица единичных коэффициентов:

Вектор неизвестных:

Расчетная эпюра изгибающих моментов:

Для выполнения деформационной проверки построим единичные эпюры изгибающих моментов в основной системе метода сил (Рис.2.21)

Рис.2.21. Эпюры М*1, М*2 от X1=X2=1 в основной системе метода сил

Формируем матрицу , перемножаем матрицы:

Погрешность расчета

Строим расчетную эпюру изгибающих моментов

Рис.2.22. Эпюра М_расч (кНм)

Используя (2.19), построим расчетную эпюру перерезывающих сил. Вырезаем жесткий узел рамы, составляем уравнения равновесия для него, из которых определяем нормальные силы в элементах рамы. Строим расчетную эпюру нормальных сил. Эпюры Q_расч и N_расч показаны на Рис.2.23, 2.24.

Рис.2.22. Эпюра Q_расч (кНм)

Рис.2.22. Эпюра Q_расч (кНм)

Рис.2.24. Эпюра N_расч (кН)

Рис.2.22. Эпюра Q_расч (кНм)

Рис.2.23. Эпюра Q_расч (кН)

Используя эпюры внутренних усилий, находим реакции опорных свя­зей рамы. Выполняем статическую проверку, составив уравнения равно­весия:

Рис.2.25. Реакции опор рамы

;

Проверка выполнена точно.