3.2.1.2. Оценка погрешности дискретизации, обусловленной неидеальностью интерполирующего фильтра.

Идеальный ФНЧ с частотной характеристикой вида (3.18) физически нереализуем. АЧХ физически реализуемых фильтров не может быть равна нулю в диапазоне частот (может быть равна нулю только в точке, т.е. пересекать ось частот на графике) и не может иметь бесконечно крутого перехода от полосы пропускания к полосе непропускания. Вместе с тем при увеличении порядка (т.е. сложности) реального фильтра его АЧХ могут сколь угодно близко приближаться к АЧХ идеального фильтра, но некогда не будет ей равна. Природа возникновения погрешностей, обусловленных этим фактором, иллюстрируется рисуноком 3.8.

Величина энергии сигнала ошибки в этом случае: (3.27). В этой записи для простоты под K(jw) понимается нормированная КЧХ интерполированного фильтра, для ФНЧ при такой нормировке в (3.18) с=1. Первое слагаемое в (3.27) есть энергия ошибки за счет искажений ("завала") спектра X(jw) в полосе 0w_ второе слагаемое дает энергию помехи за счет неполного подавления фильтром "хвостов" сдвинутых спектров. Оценка второго слагаемого в (3.27) может быть выполнена с помощью формулы (3.25). Подставив (3.27) и (3.22) в (3.21) можно определить вклад, вносимый в отношение сигнал-шум этой погрешностью. Увеличивая порядок восстанавливающего фильтра всегда можно обеспечить его допустимо малое значение. Другим реальным путем частичного уменьшения этой погрешности является увеличение частоты дискретизации . Действительно, при увеличении w_ вид графика спектра рис 3.7а изменится и станет похож на рисунок 3.5в (составляющие спектра <раздвинуться>). Если при этом выбрать частоту среза восстанавливающего фильтра равной , то при подлежащем выборе w_ большая часть неидеальностей частотной характеристики фильтра придется на участки спектра дисретизированного сигнала с близким к нулю значением , в результате чего анализируемая погрешность станет пренебрежимо малая.

3.2.1.3. Оценка погрешности дискретизации, обусловленной конечной длительностью отсчетных импульсов.

Длительность от счетных импульсов  всегда является конечной величиной. При этом, если исходная функция с ограниченным спектром восстанавливается идеальным ФНЧ по АИМ - сигналу , полученному показанным на рис 3.3 способом, то длительность от счетных импульсов никакой роли не играет: при любом длительности t исходная x(t) восстанавливается точно. Данное утверждение следует из того, что, как видно из выражения (3.8) спектр АИМ - сигнала при любом t имеет такую же структуру, как и спектр дискретизированного сигнала, т.е. состоит из основного и боковых спектров , которые могут быть отфильтрованы восстанавливающим фильтром. Однако в реальных условиях АИМ - сигнал, используемый для восстановления исходной функции, отличен от . Отличие состоит в том, что этот сигнал (обозначим его ) является последовательностью прямоугольных импульсов с плоскими вершинами, тогда как вершины импульсов сигнала изменяется, повторяя в своем изменении х(t) (см. рисунок 3.9).

Такой вид обусловлен реальным способом восстановления: по известному значения отсчета x(kt) формируется прямоугольный импульс длительностью  и высотой x(kt), подаваемый затем на фильтр. Рассмотрим, как влияет данный эффект на точность восстановления х(t). Из рисунка 3.9 видно, что X_ (t) можно определить следующим выражением: Но соотношение (3.28) совпадает по форме с выражением, описывающим выходной сигнал фильтра с импульсной реакцией , на входе которого действует сигнал , определяемый (3.15). Иначе говоря выражение (3.28) позволяет трактовать сигнал , как выходной сигнал фильтра с импульсной реакцией h(t), на вход которого подается сигнал . Поэтому восстановление х(t) по сигналу можно иллюстрировать эквивалентной схемой (рисунок 3.10).

Из рисунка 3.10 видно, что последовательно включенные Ф и интерполирующий ФНЧ можно заменить эквивалентным восстанавливающим фильтром с комплексной частотной характеристикой.

Кэкв(jw)= К(jw) Кифнч(jw),

(3.30)

где К(jw) - комплексная частотная характеристика фильтра Ф_с импульсной реакцией вида (3.29). Она может быть определена как

(3.31)

Таким образом, конечной длительности стробирующих импульсов эквивалентно изменению КЧХ восстанавливающего фильтра в соответствии с (3.30) и (3.31). Величина этой погрешности может быть оценена посредством (3.27) в предположении К_инт(jw)=К_экв(jw) и необходимым образом уменьшена сокращением длительности   или корректирующим изменением КЧХ и ФНЧ восстанавливающего фильтра, .... ..... К_экв(jw) к К_ифнч(jw). Другим реальным эффективным способом уменьшения этой пограшности также как и в предыдущем случае является увеличение частоты дискретизации по сравнению с нижним пределом, задаваемым (3.17). Итак, произведенная оценка погрешностей дискретизации показывает, что в реальных условиях эффект, утвержденный теоремой Котельникова, может быть достигнут с требуемой точностью за счет некоторого увеличения частоты дискретизации w_д.