![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
- •2 Масса фигуры переменной плотности
- •3 Геометрический смысл ди (двойного интеграла)
- •4 Геометрический смысл Кр и -1
- •5 Свойства определённого интеграла по фигуре
- •6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
- •7 Вычисление ди в декартовых координатах
- •8 Вычисление ди в полярных координатах
- •9 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
- •12 Вычисление пи-1
- •13 Вычисление статических моментов фигуры
- •14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
- •15 Вычисление моментов инерции фигуры
- •Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
- •17 Формула Грина
- •18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования
- •20. Формула Стокса
- •21 Формула Остроградского-Гаусса
- •22. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению.
- •23 Градиент, свойства градиента
- •24 Векторное поле, определение, векторные линии, труба
- •25 Поток векторного поля, его физический смысл
- •26 Дивергенция векторного поля, её свойства
- •27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл
- •28 Ротор векторного поля, его свойства
- •29 Оператор Гамильтона, диф.Операции 1-го и 2-го порядка
- •30 Простейшие векторные поля: потенциальное, соленаидальное, гармоническое
- •31 Определение числового ряда, основные понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда
- •32 Свойства сходящихся числовых рядов
- •33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
- •34 Признаки сравнения числовых рядов
- •35 Признак д'Аламбера
- •36 Радикальный признак Коши
- •37 Интегральный признак сходимости
- •38 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •39 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •40 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •41 Функциональные ряды, основные понятия
- •42 Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий равномерной сходимости. Теорема Вейештрасса
- •25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •44 Степенные ряды. Теорема Абеля
- •45 Свойства степенных рядов
- •46 Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора
- •47 Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций
- •49 Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ои; в) решение диф. Уравнений
- •1Функции
- •50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
- •51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций
Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
В
Зададим касательный вектор движения по прямой
,
А
,а
этот интеграл является интегралом
первого типа.
Аналогично
определим криволинейный интеграл
второго рода в
.
Рассмотрим
векторное поле
,
для которого
является
радиус вектором,
тогда
, и
Кривая L задается
системой
.
По определению:
,
а
это криволинейный интеграл второго
рода в пространстве. Независимость от
выбора параметра доказывается также,
как и в
Пусть
r
F( x,y ) = (f(x,y),g(x,y)) − сила, действующая на материальной точку М(x,y) ориентированной кривой L
r
ванной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой F(x,y ) при перемещении точки М вдоль
ориентированной кривой L, равна
W = ∫ f ( x,y)dx + g(x,y)dy.
17 Формула Грина
Если D -
односвязная область, то
(граница
области D)
- простая замкнутая кривая, обход по
которой совершается против часовой
стрелки. Если D -
неодносвязна, то
-
совокупность замкнутых кривых, обход
по которым совершается так, что D остается
слева.
18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования
И 2-ого рода зависит от того по какому пути он берётся, если начальнаяи конечная точки одинаковые, если знач. Кр И равны между собой соед. Начальную и конечную точки инт., то говорят,что интеграл не зависит от пути интегрирования.
Теорема
1 Для того чтобы Кр И по прямой L
не
зависит от пути интегрирования в
некоторой области Д необходимым и
достаточным, чтобы он по любому замкнутому
контуру
Д был равен 0
Необходимость.
Интеграл не зависит от пути интегрирования.
Доказать.
Достаточность.
Не зависит от пути интегрирования
19 ПИ-2, определение, вычисление, связь с ПИ-1, физический смысл
Вычисление
ПИ-2сводится к вычислению ДИ по плоской
области являющейся проекцией поверхности
(знак + если угол между поверхностью и
нормалью острый)
Физический
смысл
поверхностный
интеграл 2-го рода представляет собой
поток векторного поля
через
выбранную сторону поверхности S.
Связь
,
И П-1 = И П-2
20. Формула Стокса
Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L (рис. 3.14).
Пусть функции: P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывно дифференцируемы на поверхности S.
Тогда имеет место формула Стокса: