36. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.

Существует способ расположения членов многочлена от нескольких переменных в определённом порядке. Его называют словарным или лексикографическим упорядочением членов многочлена.

Опишем его:

Пусть –(1)

-(2)– произвольные члены многочлена с ненулевыми коэффициентами.

Мы полагаем, что не содержит подобных членов, поэтому не все соответствующие показатели и равны между собой. Пусть и первые из таких показателей, то есть и = при . Член (1) будем считать выше члена (2) если . Если же , то из двух этих членов будем считать выше член (2). Иначе говоря, из членов (1) и (2) будем считать тот выше, у которого показатель при больше. Если же показатели при равны, то тот из членов будем считать выше у которого показатель при больше и т.д.

При словарном упорядочении членов многочлена первым записывается высший член многочлена, вторым – следующий по высоте и так далее.

7. Лемма о высшем члене многочлена.

Лемма 2.1. (о высшем члене многочлена).

Высший член произведения двух многочленов и , отличных от нуля, равен произведению высших членов этих многочленов.

Доказательство.

Расположим члены в многочленах и в словарном порядке.

;

;

Найдём произведение следующим образом: вначале умножим последовательно все члены многочлена, начиная с первого на первый член многочлена . Очевидно, что при этом словарный порядк расположения членов не нарушится. То есть мы получим группу членов, высшим из которых будет: -(3)’

Далее умножим все члены многочлена на второй член многочлена .

Получим группу членов, высшим из которых будет: -(3) и т.д.

Наконец, все члены многочлена умножим на последний член многочлена Получим группу членов высшим из которых будет:

Очевидно, что высший член произведения следует искать среди высших членов найденных групп. Но они в свою очередь составляют группу членов, полученных последовательным умножением многочлена , начиная с первого, на первый член многочлена . При таком умножении словарный порядок расположения членов не нарушится. Следовательно, высшим членом этой группы будет член (3), он же и будет высшим членом произведения . Следовательно, высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей и . Теорема доказана.

38.Свойства симметрических многочленов.

Определение: многочлен из кольца называется симметрическим, если в результате любой перестановки переменных в этом многочлене получается многочлен равный исходному.

Свойства симметрических многочленов:

1. сумма, разность и произведение симметрических многочленов из кольца также являются симметрическими многочленами из этого кольца.

Согласно приведённому свойству множество симметрических многочленов образует подкольцо кольца

2. пусть выражение – (1) является членом симметрического многочлена Тогда членом этого многочлена также является и всякое выражение, полученное из (1) в результате перестановки показателей при переменных.

3. Пусть выражение (1) является высшим членом симметрического многочлена , тогда выполняются неравенства -(2)

До-во. Поменяем местами показатели и в выражении (1). Получим выражение: a - (3), которое согласно предыдущему свойству также является членом многочлена . Так как (1) – высший член многочлена, то, в частности, он выше (2).

Отсюда следует, что Поменяем теперь местами в выражении (1), получим также член многочлена a - (4)

Учитывая, что (1) – высший член многочлена, получаем и т.д. В конечном итоге получим неравенства (2).

до-но.