30.Доверительные интервалы

Оценка неизвестного параметра, которая задается 2 числами (концами интервала) называется интервальной. пусть по выборки получена точечная оценка θ (с крышкой), неизвестного параметра θ. Это оценка тем точнее, чем меньше l θ - θ (с крышкой)l. Методы математической статистики не позволяют наверняка утверждать, что выполняется неравенство l θ - θ (с крышкой)l<δ, где δ>0. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения: Р(l θ - θ (с крышкой)l)<δ=γ. Величина γ называется доверительной вероятностью или надежностью. В качестве γ берут число, близкое к единице: 0,98,0,99, 0,995. Оно выбирается исследователем самостоятельно. Раскрыв знак модуля , получим определение доверительного интервала: P(θ (с крышкой) < θ < θ (с крышкой) +γ). Доверительным называется интервал (θ (с крышкой) - δ;θ (с крышкой)+δ), который покрывает параметр θ с заданной надежностью γ. При этом δ называется точностью оценки. Замечание: неверно говорить, что θ попадет в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе неизвестный параметр θ. Для того, чтобы построить доверительный интервал, необходимо знать закон распределения оценки θ (с крышкой)= θ (с крышкой)(х1,х2,…,хn) как функция отборки (х1, х2, …,хn). Затем поступают следующим образом:1.вычисляют точечную оценку θ (с крышкой) 2)выбирают надежность γ 3)вычисляют точность оценки δ.

31.Распределения , Стьюдента и Фишера.

Распределение (хи-квадрат). Пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина называется распределённой по закону с n степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия распределения равны: , График – плотность распределения .При n распределение медленно стремится к нормальному.

Распределение Стьюдента. Пусть и независимы и имеет стандартное нормальное распределение, а - распределение с k степенями свободы. Тогда случайная величина называется распределённой по закону Стьюдента с k степенями свободы. График – плотность распределения

Стьюдента. При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному. Математическое ожидание и дисперсия распределения Стьюдента – MT=0, DT= .

Распределение Фишера. Пусть и независимы и имеют распределение с и числом степеней свободы соответственно. Тогда случайная величина называется распределённой по закону Фишера c и числом степеней свободы.

График – плотность распределения Фишера. Замечание. Табличные значения случайной величины Фишера всегда больше 1.

32.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

33.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке доверительный интервал для оценки математического ожидания .

Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение .

1. Значение параметра известно. Доверительный интервал будет иметь вид:

Здесь n – объем выборки. Точность оценки

= ,

где значение числа находится с помощью таблиц функции Лапласа из уравнения .

2. Пусть неизвестно.

В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, только вместо нужно подставить его оценку:

.

В результате доверительный интервал имеет вид

В этом случае определяется по таблице распределения Стьюдента на основании и числа степеней свободы .

Так как при распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному, то при больших объемах выборки ( ) при нахождении

можно пользоваться таблицей функции Лапласа.