9. Собственные векторы и собств. Знач. Кв.Матриц.

Не нулевой вектор Х наз-ся собств.вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что А*Х= λХ. Число λ-наз-ся собственным значением вектора.

А*Х= λХ=0

(А- λе)= Х=0, получ.с/с одннор. ур-ий.

Эта с/с всегда имеет нулевое решение. Для осуществования не нулевого решения необх. И достат.,чтобы определитель

Опред. -явл.многочл. N-ной степени, зависящим от . Этот многочлен наз-ся характерестическим ур-ем. Решая это ур-ие находят собств. Числа затем из матричного ур-я ,находим собств.ур-ия.

__________________

10/Векторы

Геометрический вектор-направленный отрезок

Векторы коолинеарны-лежат на одной или параллельных прямых

Вектры а и в равны,если:

1.равны их модули

2.коллинеарны

3.сонаправлены

Произведение а на L, это вектор La если:

1)они коллинеарны

2)L больше 0,значит сонаправлены

Lменьше 0, разнонаправлены

1.а+в=в+а

2. (а+в)+с=(с+а)+в

3. а+0=а

4.(Л+в)а=Ла+Лв

________________

11.Декартова СС коорд- совокупн точки и исходящих из нее оси перпенд друг другу.Базисом с/с корд наз-ся сов-сть единичных векторов, напр-х вдоль координатных осей.Разложение вектора по базису-представление его в виде лин.комбинации базисных векторов.Коэф.при базисных векторах наз-ся координатами вектора. В частности в декартовом базисе с коор. Х,у,z. ={x,y,z} можно представить в виде разложения по базису =Xi+Yj+Zk.

Лин операции:

1,)a+b= {x1+x2 y1+y2 z1+z2}

2)вектор La={Lx Ly Lz}

|a|=

При A(x1 y1 z1) B(x2 y2 z2)

Вектор AB= {x2-x1 y2-y1 z2-z1}

_______________________________

12.Скалярное произ вектроа а и в –число,кот вычисляется по формуле a*b=|a|*|b|*cos( ). Свойства: 1.а*в=в*а 2.а(в+с)=ав+ас 3.L(a*b)=La*b 4.a*a=|a|²

_____________________________

13.Теорема скал произ векторов коорд. Если a(x,y,z) b(x2,y2.z2) тогда (а^b)=x1 x2+y1y2 + z1z2.a парал в когда а^в=0

Док-во:представим а и в виде разлож в декарт базисе а=хi+yj+ zk b=x2i+y2j+z2k Составим таблицу скалярного умножения

0	i	j	k
i	1	0	0
j	0	1	0
k	0	0	1

Ab=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j+z2k)=x1x2+y1y2+z1z2

________________________________

14.Уравнение порямой на плоскости. Напр вектор- любой не нулевой вектор,параллельный этой прямой(s)

Норм вектор-любой вектор перпенде этой прямой(n)

1)общее Ax+By+Cz=0 Следствие:для прямой зад общ ур n=(A;B) явл норм,а S(-ИжФ) направл.

Условия колл и ортог прямых

L1:A1x+B1x+C=0

L2:A2x+B2y+C=0

1)парал когда А1/А2=В1/В2

2)перпен когда А1А2+В1В2=0

Док-во:

1.n1||n2 = >a1/a2=b1/b2

2 l1 пер l2= >n1 пер n2 => n1 n2=0 A1A2+B1B2=0

_______________________________

15Каноническое ур прямой и через 2 точки.-1)ур прямой,проход через точку Мо и имеющий напрвляющий вектор S={p;q}.

В ид: Док:пусть М (x;y)-произвольная точка на прямой М (х;у)э L=> MoM || S

м

мо

2)через 2 точкм М(х;у) и М2(х2;у2) имеет вид

Док:В кач напр вектора можно взять любой коллин вктор

М1М2=(х2-х;у2-у)

М2

М1

_________________________________

16.Угл кооф называется tg угла наклона прямой к полож направ Ох

Ур прямой через точку М0(Хо,Уо) и имеющ угл кооф k имеет вид: y-y0=k(x-x0)

Док:

Мо s

q Ф

p

Пусть S-напр век.

Tg=q/p.

x-x0/p=y-y0/q

y-y0=xq-x0q/p=q(x-x0)/p

y-y0=tg p (x-x0)+ kx-kx0

y=kx-kxo+yo

y=kx+и

__________________________

17.Расстояние от точки M0(x y z) до прямой зад уравнением ax+by+cz+d=0

Вычисляется по формуле

__________________________18.Ур плоскости через точку и n век.+общ ур

n векнызывается нормал если он перпенд любой прямой,лежащей в плоскости

Т:Ур плоскости,прох через Мо(х0;у0) и имеющий n век={A;B;C}вид:

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0

Д ок: n

M0(х0y0z0)

M(xyz)

M произв точ принад L.=>

Век МоМперпен n век. =>

MoM*n=0

MoM {x-x0 y-y0 z-z0}

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0

Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0

Ax+By+Cz+D=0

________________________