Теорема о производной обратной функции.
ТЕОР1: Если функция Y=f(x) имеет в точке X0 производную f ’(X0) 0, то обратная функция X= (y) также имеет в соответствующей точке Y0 = f(X0) производную, причем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).
Док-во: Дадим аргументу Y обратной функции X= (y) некоторое приращение Y0. Функция X=(y) получит некоторое приращение X, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции X0. X /Y=1/(Y/Х) Перейдем в этом равенстве к пределу при Y0. Так как обратная функция X= (y) непрерывна в точке Y, то X0 при Y0. Но при X0 предел правой части равенства существует и равен 1/f ’(X0). Существует предел и левой части, который по определению равен ’(Y0). Т. о. получаем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).
Производные обратных функций.
ТЕОР1:
Производная функции Y=a
(0<a1)
выражается формулой Y’
= a
ln
a.
Док-во:
Показательная функция Y=a
является обратной для логарифмической
функции X=log
Y.
Так как X’(y)
= (1/y)
log
e,
то (по Т о производной обрат Ф) из
соотношения log
b=1/log
a
получим Y’(x)=1/X’(Y)=Y/
log
e=
a
ln
a.
СЛЕД: Если Y=е , то Y’ = е .
ТЕОР2:
Производная функции Y=arcsin
X
выражается формулой Y’=1/
(|X|<1).
Док-во:
Так как функция Y=arcsin
X
определена на интервале –1<X<1,
является обратной для функции
X=sin
Y,
определенной в интервале -/2<Y</2
и для функции X=sin
Y
выполнены все условия теоремы, то по
этой теореме функция Y=arcsin
X
дифференцируема в любой точке X=sin
Y
и для ее производной в этой точке
справедлива формула Y’=(arcsin
X)’=1/(sinY)’=1/cosY=1/
.
Перед корнем поставим знак “+”
в силу того, что cosY
положителен на интервале -/2<Y</2.
Учитывая, что X=sin
Y,
окончательно получаем
(arcsin
X)’=1/
.
ТЕОР3: Производная функции Y=arccos X выражается формулой Y’= -1/ .
Док-во:
Так как функция Y=arccos
X
определена на интервале –1<X<1,
является обратной для функции
X=cos
Y,
определенной в интервале 0<Y<
и для функции X=cos
Y
выполнены все условия теоремы, то по
этой теореме функция Y=arccos
X
дифференцируема в любой точке X=cos
Y
и для ее производной в этой точке
справедлива формула Y’=(arccos
X)’=1/(cosY)’=
-1/sinY=
-1/
.
Перед корнем поставим знак “
- ” в силу того, что cosY
положителен на интервале 0<Y<.
Учитывая, что X=cos
Y,
окончательно получаем
(arccos
X)’=
- 1/
.
ТЕОР4: Производная функции Y=arctg X выражается формулой Y’=1/(1+x ).
Док-во: Так как функция Y=arctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции X=tg Y определенной на интервале -/2<Y</2, и для функции X=tg Y в окрестности каждой точки интервала -/2<Y</2 выполнены все условия теоремы, то функция Y=arctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке X=tg Y и для ее производной справедлива следующая формула (arctg X)’=1/(tg Y)’=1/(1/cos Y)= cos Y=1/(1+tg Y)= 1/(1+x ).
ТЕОР5: Производная функции Y=arcctg X выражается формулой Y’= -1/(1+x ).
Док-во: Так как функция Y=arcctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Y=ctg X определенной на интервале 0<Y<, и для функции Y=ctg X в окрестности каждой точки интервала 0<Y< выполнены все условия теоремы, то функция Y=arcctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке и для ее производной справедлива следующая формула
(arcctg X)’=1/(ctg Y)’=1/( -1/sin Y)= -sin Y= -1/(1+ctg Y)= -1/(1+x ).