- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
Азн.1: Няхай G і - групы з аперацыямі • і * адпаведна. Адлюстраванне наз. гомамарфізмам групы G у групу , калі для адвольных элементаў
.
Прыклады:
Няхай G і – адвольныя групы. Адлюстраванне такое, што для адвольнага . Дзе – адзінка , відавочна, гомамарфізм групаў. Ён наз. нулявым гомамарфізмам;
Калі H – падгрупа групы G, тады адлюстраванне такое, што для - ін’екцыіны гомамарфізм групаў. Яго наз. укладаннем у групу .
Адлюстраванне : , дзе - гомамарфізм.
Бо для адвольных камплексных лікаў .
Уласцівасці гомамарфізмаў групаў:
Калі – гомамарфізм групаў, тады:
1) , дзе e, - адзінкі групаў адпаведна.
2) .
3) Калі H – падгрупа групы G, тады – падгрупа групы , у прыватнасці, – падгрупа групы - вобраз гомамарфізму
4) Калі -падгрупа групы поўны правобраз - падгрупа групы G.
5) Калі H⊲ G, тады .
6) Калі .
7) Калі – гомамарфізм групаў, тады – гомамарфізм групаў.
Азн.2: Няхай - гомамарфізм групаў, - адзінкі групаў . Мноства =Ker наз. ядром гомамарфізму
Тэарэма1: Няхай G і – групы, – гомамарфізм. Ядро гомамарфізму - нармальная падгрупа групы G.
Тэарэма2(пра гомамарфізмы групаў): Няхай - гомамарфізм групаў. Тады .
Сцв.1: Няхай - гомамарфізм групаў. Тады:
к. і т. к. належаць аднаму сумежнаму класу па ( ).
Гомамарфізм ін’екцыйны к. і т. к. , дзе - адзінкі групаў .
24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
Няхай K – камутатыўнае колца з адзінкай, - зменная. Тады K[ ] – камутатыўнае колца з адзінкай. K[ ][ ]= – колца паліномаў ад зменных , над колцам K. Элементы гэтага колца ёсць паліномы
.
- наз маномам, складнік f.
Каб знайсці суму 2 паліномаў, трэба скласці каэфіцыенты пры аднолькавых маномах і прывесці падобныя, а каб перамножыць – перамнажаем паводле дыстрыбутыўнасці і прыводзім падобныя складнікі.
Найбольшы паказчык пры у маномах з ненулявым каэфіцыентам наз ступеню f у дачыненні да і абазначаецца .
- наз поўнай ступеню манома .
Найбольшая з поўных ступеняў манома з ненулявымі каэфіцыентамі наз поўнай ступеню f і абазначаецца deg f. Нулявы паліном ступені не мае.
Паліном f наз аднародным паліномам ступені m (ці формай ступені m) калі ўсе яго маномы з ненулявымі каэфіцыентамі маюць поўную ступень K. Нуль будзем лічыць формай адвольнай ступені.
Тэарэма 1: Няхай K – камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Тады - камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Для адвольных ненулявых паліномаў
Тэарэма 2: Няхай K – камутатыўнае колца з адзінкай, K - падколца колца S, якое таксама камутатыўнае колца з 1 і няхай – адвольныя паліномы з . Kалі , а , тады
Лексікаграфічны запіс паліномаў
Існуюць два натуральныя запісы паліному ад 1 зменнай: па нарастальных ступенях невядомай: і па спадальных ступенях невядомай: - старэйшы за маном (2)
Калі існуе лік k, 1≤k≤n, такі, што і будзем запісываць маном з ненулявым каэфіцыентам, які старэйшы за другі маном з ненулявым каэфіцыентам, раней за яго. У выніку атрымаўся запіс, які наз лексікаграфічным запісам палінома.
Першы складнік у лексікаграфічным запісе палінома наз старшым складнікам палінома.
Лема: Старшы складнік здабытку 2 паліномаў роўны здабытку старшых складнікаў гэтых паліномаў, калі здабытак каэфіцыентаў пры старшых складніках не роўны нулю.