22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.

Азн.1: Няхай G і - групы з аперацыямі • і * адпаведна. Адлюстраванне наз. гомамарфізмам групы G у групу , калі для адвольных элементаў

.

Прыклады:

1. Няхай G і – адвольныя групы. Адлюстраванне такое, што для адвольнага . Дзе – адзінка , відавочна, гомамарфізм групаў. Ён наз. нулявым гомамарфізмам;

2. Калі H – падгрупа групы G, тады адлюстраванне такое, што для - ін’екцыіны гомамарфізм групаў. Яго наз. укладаннем у групу .

3. Адлюстраванне : , дзе - гомамарфізм.

Бо для адвольных камплексных лікаў .

Уласцівасці гомамарфізмаў групаў:

Калі – гомамарфізм групаў, тады:

1) , дзе e, - адзінкі групаў адпаведна.

2) .

3) Калі H – падгрупа групы G, тады – падгрупа групы , у прыватнасці, – падгрупа групы - вобраз гомамарфізму

4) Калі -падгрупа групы поўны правобраз - падгрупа групы G.

5) Калі H⊲ G, тады .

6) Калі .

7) Калі – гомамарфізм групаў, тады – гомамарфізм групаў.

Азн.2: Няхай - гомамарфізм групаў, - адзінкі групаў . Мноства =Ker наз. ядром гомамарфізму

Тэарэма1: Няхай G і – групы, – гомамарфізм. Ядро гомамарфізму - нармальная падгрупа групы G.

Тэарэма2(пра гомамарфізмы групаў): Няхай - гомамарфізм групаў. Тады .

Сцв.1: Няхай - гомамарфізм групаў. Тады:

1. к. і т. к. належаць аднаму сумежнаму класу па ( ).

2. Гомамарфізм ін’екцыйны к. і т. к. , дзе - адзінкі групаў .

24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.

Няхай K – камутатыўнае колца з адзінкай, - зменная. Тады K[ ] – камутатыўнае колца з адзінкай. K[ ][ ]= – колца паліномаў ад зменных , над колцам K. Элементы гэтага колца ёсць паліномы

.

- наз маномам, складнік f.

Каб знайсці суму 2 паліномаў, трэба скласці каэфіцыенты пры аднолькавых маномах і прывесці падобныя, а каб перамножыць – перамнажаем паводле дыстрыбутыўнасці і прыводзім падобныя складнікі.

Найбольшы паказчык пры у маномах з ненулявым каэфіцыентам наз ступеню f у дачыненні да і абазначаецца .

- наз поўнай ступеню манома .

Найбольшая з поўных ступеняў манома з ненулявымі каэфіцыентамі наз поўнай ступеню f і абазначаецца deg f. Нулявы паліном ступені не мае.

Паліном f наз аднародным паліномам ступені m (ці формай ступені m) калі ўсе яго маномы з ненулявымі каэфіцыентамі маюць поўную ступень K. Нуль будзем лічыць формай адвольнай ступені.

Тэарэма 1: Няхай K – камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Тады - камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Для адвольных ненулявых паліномаў

Тэарэма 2: Няхай K – камутатыўнае колца з адзінкай, K - падколца колца S, якое таксама камутатыўнае колца з 1 і няхай – адвольныя паліномы з . Kалі , а , тады

Лексікаграфічны запіс паліномаў

Існуюць два натуральныя запісы паліному ад 1 зменнай: па нарастальных ступенях невядомай: і па спадальных ступенях невядомай: - старэйшы за маном (2)

Калі існуе лік k, 1≤k≤n, такі, што і будзем запісываць маном з ненулявым каэфіцыентам, які старэйшы за другі маном з ненулявым каэфіцыентам, раней за яго. У выніку атрымаўся запіс, які наз лексікаграфічным запісам палінома.

Першы складнік у лексікаграфічным запісе палінома наз старшым складнікам палінома.

Лема: Старшы складнік здабытку 2 паліномаў роўны здабытку старшых складнікаў гэтых паліномаў, калі здабытак каэфіцыентаў пры старшых складніках не роўны нулю.