14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.

Азн.1: Непустое мноства , на якім вызначаны бінарная алгебрычная аперацыя •, наз. групай , калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1. Аперацыя • асацыятыўная, г.зн.

2. Існуе нейтральны элемент у дачыненні да аперацыі •, г.зн. такі элемент, што

;

3. існуе сіметрычны элемент, г.зн. такі элемент што .

Множанне – мультыплікатыўная група.

Складанне – адытыўная група.

Прыклады:

1. 

2)

Азн.2: Падмноства H групы G наз. падгрупай групы G, калі H –група ў дачыненні да аперацыяў, вызначаных ў G. Абазначаецца H<G.

Азн.3: Група G наз. абэлевай (камутатыўнай), калі аперацыя ў G камутатыўная, г.зн. для .

Азн.4: Група наз. канцоўнай, калі ў ёй канцоўная колькасць элементаў. Колькасць элементаў у канцоўнай групе G наз. парадкам групы і абазначаецца │G│.

Уласцівасці групаў:

1. Для адвольных элементаў кожнае з раўнанняў ах= і уа= мае ў адзіны развязак

х=а^-1 і у= а^-1 адпаведна;

2. Для адвольных (ab)^-1=b^-1a^-1;

3. Адзінка падгрупы H групы G ёсць адзінка групы G;

4. У групе G толькі адна адзінка. Для кожнага элементу з G ёсць толькі адзін адваротны элемент.

Тэарэма1(1 крытэр падгрупы): Непустое падмноства H групы G ёсць падгрупа групы G к.і т.к :

.

Тэарэма2(2 крытэр падгрупы): Непустое падмноства H групы G ёсць падгрупа групы G к.і т.к для адвольных элемент .

15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.

Сцв.1: Перасячэнне адвольнага мноства падгрупаў групы G ёсць падгрупа групы G.

Азн.1: Няхай M падмноства групы G, перасячэнне ўсіх падгрупаў групы G, якія змяшчаюць мноства M, будзем абазначаць і наз. падгрупай спароджанай мноствам M, а само M наз. спараджальным мноствам (ці мноствам утваральных) падгрупы (M).

Відавочна (M) ёсць найменшая падгрупа групы G, якая змяшчае M, г.зн. калі .

Тэарэма1: Няхай . Падгрупа спараджальная

.

Азн.2: Група, спароджаная адным элементам наз. цыклічнай.

Азн.3: Найменшы натуральны , які адпавядае ўмове , наз. парадкам элементу .

Калі для кожнага , тады a наз. элементам бясконцага парадку.

Абазначаецца .

Тэарэма2: 1) Калі - элемент парадку , тады група ( ) – канцоўная парадку і .

2) Калі - элемент бясконцага парадку, тады група ( ) – бясконцая і для n≠k n,k .

Заўвага: Калі - элемент парадку , тады .

У прыватнасці .

Тэарэма3: Кожная падгрупа цыклічнай групы -цыклічная.

Сцв.2: Няхай . Для адвольнага k парадак .

Сцв.3: У цыклічнай групе парадку n, для адвольнага натуральнага k, k | n існуе адзіная падгрупа парадку k.

Тэарэма 5: 1) Адвольная бясконцая цыкічная група ізаморфная адытыўнай групе Z;

2) Адвольная канцоўная цыклічная група парадку n ізаморфная групе C(n) камплексных каранёў ступені n з адзінкі.