Натуральное число e.
Л
огарифмическая
функция y
= logax
является
обратной для показательной функции y
= ax
. Графики
этих функций расположены симметрично
относительно биссектрисы y
= x
и при произвольном а
пересекают оси Ох, Оу всегда в одной
точке (1;0 ) и (0;1). Проведем через эти точки
касательные к кривым. Они пересекуться
на биссектрисе и точка пересечения
будет перемещаться вдоль нее при
изменении основания а
. В определенный момент, при а = 2,72 . . .
касательные станут
параллельны друг другу и оси симметрии. Их угловой коэффициент k = tg 450 = 1 . Основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций, наз. натуральным числом и обозначается е = 2,72 . . . . Многие соотношения связанные с е удивительно просты и симметричны.
Второй замечательный предел.
П
остроим
на графике функции y
= ln
x
секущую
MN,
где
M(1,0),
N(1+h,ln(1+h)). Тогда
tg
(NMK)
= ln(1+h) / h. При
NM
секущая
переходит
в
касательную
и
tg
NMK
tg 450
= =1, т.е.
lim
(ln(1+h)/h) = 1. Используем
тождество
elny
= y. Тогда
lim (1+h)1/h = lim eln (1+h)/h = elim (ln(1+h)/h) = e при h 0
При замене h = 1/x, где x , получаем другую запись предела
(a) lim ln(1+x) / x = 1; (b) lim (1+x)1/x = e ; (c) lim (1+1/x)x = e
x 0 x 0 x
Общие правила раскрытия неопределенностей
1. {0/0} При вычислении пределов дробно-рациональных функций
используется основная теорема алгебры, т.е. многочлены представляется как произведение двучленов ( Пр. x2 + bx + c = (x – x1)(x – x2) ) и взаимно сокращаются одинаковые.
Пр.
2. { / } Вынесем х в максимальной степени за скобки в Rn(x) , Qm(x) и сократим
Пр.
= {/}
=
3. { - } Проведем вычитание дробей или умножим числитель и знаменатель разности на сопряженный двучлен
Пр.
{
- }
=
4.
Для того чтобы избавится от двучленов
с корнями можно умножить их на сопряженные
двучлены
Пр.
{0/0}
=
=
5.
{0 }
В общем
случае :
= {0 }
=
= {0/0}
6.
{
},
{
},
{
}
В случае
показательно-степенной функции
тип
неопределенности меняем с помощью тождества eln y= y , т.е.
=
exp( ln
)
= exp(
=
exp(
ln
)
= eB
lnA
= AB
где A = > 0 ; B =
т.е. при переходе к пределу показательно-степенной функции основание и степень заменяются на их пределы.
Пр.
=AB
=(3/4)1/2 ,
т.к.A
=
;B
=
В случае А = 1, В = используют преобразование
=
= exp {
[f(x) – 1]
},
т.е. А = e , B = [f(x) – 1]
Пр.
= exp
{
}
= e-7
, т.к.
А = 1, В =
Непрерывность функции.
С
понятием предела функции связано другое
важное понятие – непрерывность
функции.
На
графике непрерывным функциям соответствуют
непрерывные линии.
Пусть
y
= f(x)
определена в точке хo
и ее окрестности. Величина
х
= х – хo
наз.
приращением аргумента,
y
= y
– yo
- соответствующим
приращением функции.
Опр.1 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции y , т.е.
lim y = 0 при х 0 ( 1 )
Следствие: Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f) , т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию ( 1 )
y
= ax
,
y
=
,
lim
y
=
lim
(a
-
1) = 0 при
х
0
y = loga x , y = loga(x + x) - loga x = loga (1 + x/x), lim y = lim loga(1 + x/x) = 0
y = x2 , y = (x + x)2 - x2 = 2x x + ( x)2 , lim y = lim [2x x + ( x)2 ] = 0
Опр.2 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке хo , если ее предел в хo совпадает со значением функции в этой точке.
lim f(x) = f(xo) при x xo ( 2 )
Покажем эквивалентность этих определений:
lim y = 0 lim(f(x) – f(xo)) = 0 lim f(x) = f(xo), при
x 0 x xo const x xo
Условие ( 2 ) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента
lim f(x) = f (lim x ) , при ( 3 ) x xo x xo
Для y = f(x) определенной на [a,b] предельный процесс около внутренней точки x (a < x < b) можно организовать двумяспособами, подходя к точке x слева или справа lim f(x) = f(xo – 0) , lim f(x) = f(xo + 0)
x xo - 0 x xo + 0
Это левосторонний и правосторонний пределы.
Опр.3 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке хo , если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадают f(xo – 0) = f(xo+ 0) = f(xo)
Опр. Функция y = f(x) наз. непрерывной на промежутке [a,b] , если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a) , lim f(x) = f(b)
x a + 0 x b - 0