Предел произведения конечного числа функций, имеющих предел при х а равен произведению пределов.
Док-во. Произведение двух функций в окрестности точки а по Т.2 равно
f1(x) f2(x) = (b1 + 1(x)) (b2 + 2(x)) = b1b2 + { b1 2(x) + b2 1(x) + 1(x) 2(x)},
где фигурные скобки есть б.м.в. (x) согласно Л.1 и Л.2 . Поэтому
lim [f1(x) f2(x) - b1b2 ] = lim (x) = 0 при х а и по определению
lim f1(x) f2(x) = b1b2 = { lim f1(x)} {lim f2(x) }
х а х а х а
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim [c f(x)] = c lim f(x) при х а
5. Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль)
Док-во. Аналогичным образом получаем, что разность f1(x)/f2(x) - b1/ b2 есть б.м.в. и переход к пределу по этой разности дает
lim f1(x)/f2(x) = b1/ b2 = lim f1(x) / lim f2(x)
x а х а х а
6. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная в окрестности точки а функция y = f(x) имеет в этой точке конечный предел
Д
ок-во.
Пусть в
окрестности точки а
функция y
= f(x)
монотонно
возрастает (
f(x1)
< f(x2)
при х1
< x2)
и
ограничена
f(x)
A
, где А
- точная
верхняя граница множества значений
функции в этой окрестности. Для
произвольного
>
0 можно всегда подобрать x
< a
, такое, что
f(x
) > A
-
.
С другой
стороны f(x)
A
<A+
. Объединим
оба неравенства
A - < f(x) < A + и получим, что всегда можно подобрать такие значения х при которых функция y = f(x) окажется в -окрестности точки А , т.е. конечный предел существует.
Следствие: Поскольку основные элементарные функции являются кусочно-монотонными и ограниченными за исключением отдельных точек, то во всех точках области определения этих функций существует конечный предел, а в особых точках предел равен бесконечности. ( !!! )
Сравнение бесконечно малых.
Пусть при xa функции (х) и (х) - бесконечно малые. Тогда :
1.Если
0
, то
наз. бесконечно
малой высшего порядка относительно
.
2.
Если
, то
наз. бесконечно
малой n
– ого порядка относительно
.
3. Если 1 , то и наз. эквивалентными бесконечно малыми.
При вычислении пределов эквивалентные бесконечно малые могут заменять друг друга.
Замечательные пределы.
Теперь
имеем два способа определения значения
функции в точке: а) прямая подстановка
аргумента в формулу
y
= f(x)
; б) предельный процесс - процесс
осторожного приближения к выбранной
точке. В большинстве случаев оба способа
дают одинаковый результат, но в отдельных
точках прямая подстановка приводит к
неопределенностям типа {0/0},
{/},
{
- },
{
},
{
},
{
}.
Тогда значение
функции определяется через предельный
процесс и процедуру раскрытия
неопределенностей.
В основе аппарата мат.анализа лежат пределы нескольких функций, которые получили название - замечательные пределы. Раскроем их неопределенности.
Первый замечательный предел lim sinx / x = 1 при x 0
Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных ОАС и ОАD следует: sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 sin x, дуга АВ = 2х и ломаная ADB = 2 AD = 2 tg x. Из соотношения длин этих линий следует: 2sin x < 2x < 2tg x 1 < x/sin x < 1/cos x 1 > sin x / x > cos x . При переходе в неравенстве к пределу x 0 имеем lim cos x = 1, 1 lim sin x / x 1 и, следовательно, lim sin x / x =1 при x 0.