Казанский государственный энергетический университет

Кафедра «Высшей математики»

Опорные конспекты лекций.

Тема : Элементы теории вероятности и математической статистики.

Основные понятия теории вероятностей

Элементы комбинаторики

Комбинаторика изучает численные законы формирования различных комбинаций из набора предметов. Исходная задача – имеем n предметов и выбираем из них некоторые k предметов, где k может принимать значения от 1 до n. Такие выборки могут различаться как своим составом, так и порядком выбранных элементов. Различают три типа выборок :

p_n - перестановки из n элементов - различаются только порядком элементов;

a_n^k - размещения из n элементов по k - различаются составом или порядком элементов;

c_n^k – сочетания из n элементов по k - различаются только составом элементов.

Определим общее число выборок каждого типа. При этом будем использовать следующие понятия.

Функция f(n) для которой f(0) = 1, f(n+1) = (n + 1)f(n) наз. n – факториалом и обозначается n! , n! = 1 2 3 . . . (n-1) n .

Функция f(x) для которой f(1) = 1, f(x+1) = x f(x) наз гамма – функцией и обозначается Г(х) , Г(х) =

Перестановки p_n. Это упорядоченная последовательность из n различных предметов. Пр. Книги на полке. Число всех возможных перестановок из n различных предметов равно P_n = n! . Действительно, число претендентов на 1-ое место - n , на 2-ое место уже (n – 1), и т.д. , на последнее место - 1, и эти числа надо перемножить.

Размещения a_n^k. Это упорядоченная последовательность из k различных элементов, выбранных из исходных n элементов. Пр. Всякое размещение на стульях первого ряда части присутствующих в зале людей. Число всех возможных размещений из n различных элементов по k равно A_n^k = n (n-1) . . . [n – (k-1)] = n! / (n – k)! . Действительно, число претендентов на 1-ое место - n, на 2-ое место уже (n – 1), и т.д., на последнее k–ое место - [n– (k-1)].

Сочетания c_n^k. Это НЕупорядоченная последовательность из k различных элементов, выбранных из исходных n элементов. Пр. Назначение двух дежурных по аудитории из списка студентов. Каждому сочетанию с конкретным набором элементов соответствует k! размещений, где те же элементы выстраиваются в различном порядке. Поэтому число всех возможных сочетаний из n различных элементов по k меньше число размещений A_n^k в k! раз и равно C_n^k = =

Название выборки	Выборки отличаются только:	Число выборок
Перестановки pn	порядком элементов	Pn = n!
Размещения ank	составом и порядком элементов	Ank= n! / (n – k)!
Сочетания cnk	составом элементов	Cnk = n! / k! (n – k)!

Случайные события

Задачей теории вероятностей (т.в.) является изучение законов, управляющих случайными событиями. Основные понятия теории вероятностей - испытание и событие.

Под испытанием понимают реализацию данного комплекса условий, в результате чего непременно произойдет какое – либо событие .

Пр. Брошена монета - это испытание, появление герба - событие.

Случайным событием наз. событие, связанное с данным испытанием, которое может произойти или не произойти.

Достоверным событием наз. событие, которое непременно происходит в результате данного испытания.

Невозможным событием наз. событие, которое заведомо не произойдет в результате данного испытания.

Произойдет или не произойдет отдельное случайное событие в результате испытания сказать нельзя, но при многократном повторении испытаний возникают определенные закономерности, которые и изучает теория вероятностей.

Пр. Кучность боя при стрельбе по мишени. Отверстия могут образовывать пятно некоторого размера, смещенное относительно центра мишени.

События А₁, А₂, . . . А_n наз. несовместными, если осуществление одного из них исключает осуществление другого. Пр. Игральная кость.

Два события наз. противоположными, если одно происходит только тогда, когда не происходит другое. Обозначение А и . Пр. Орел и решка.

События А₁, А₂, . . . А_n наз. равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них. Пр. Сравните игральную кость и спичечный коробок.

События А₁, А₂, . . . А_n образуют полную группу событий или множество всех возможных исходов  = {  }, если в результате испытания непременно произойдет одно из них. Такие события  = A_i наз. элементарными. Они могут благоприятствовать или не благоприятствовать появлению более сложных событий.

Сумма событий А и В есть появление либо А либо В . А + В = С. (либо)

Произведение событий А и В есть одновременное появление и А и В. ( и )

Пр. Бросают игральную кость. Полная группа событий включает 6 элементарных событий А₁, А₂, . . . А₆ - на верхней грани 1,2, . . . 6 очков. Пусть событие А – появление четного числа очков. Событию А благоприятствуют 3 элементарных события А₂, А₄, А₆ , т.е. А = А₂ + А₄ + А₆.