Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция y = (x) наз. бесконечно малой при х а , если lim (x) = 0. Функция y = f(x) наз. бесконечно большой при х а ( lim f(x) = ) , если становится больше любого наперед заданного числа , или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М , что из неравенства 0 < |x – a| < следует неравенство |f(x)| > M

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х) при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U(x) = (x) + (x) , где lim (x) = 0 , lim (x) = 0 при х а.

Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции (х) и (х) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал |х – 0| < , что | (x) – 0| < /2, | (x) – 0| < /2 и, следовательно, | (х) + (х) - 0| < . Последнее неравенство означает, что разность |U(x) – 0| делается меньше любого , лишь только |х – а| становится меньше соответствующего , т.е. функция U(x) имеет предел в точке 0 : lim U(x) = 0 при х а .

Опр. Функция y = f(x) наз. ограниченной в окрестности точки а , если существует число М> 0, такое что |f(x)| < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f(x), имеющая предел lim f(x) = b при х а ограничена в окрестности точки а . Действительно, |f(x)| = |f(x) – b + b| < |f(x) – b| + |b| < (x) + |b|

Лемма 2. Произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть (x) = f(x) (x) , где |f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0 , то для любого числа /М>0 найдется

- окрестность точки а , в которой | (х) – 0 | < /M и, следовательно, интервал | (х) - 0 | = |f(x)| | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а , т.е. произведение f(x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а .

Теоремы о пределах.

Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах:

1. Предел постоянной равен самой постоянной.

Док-во. Рассмотрим предел разности между функцией f(x) = c и константой с lim (f(x) – c) = 0 . Т.к. предел равен 0 при любом значении х , то lim c = c при x R .

2. Для того чтобы lim f(x) = b при х а, необходимо и достаточно выполнение равенства f(x) = b + (x), где (х) - б.м.в. при х а .

Док-во. Необходимость:

lim f(x) = b lim [f(x) – b] = 0 = lim (x) f(x) – b = (x) f(x) = b + (x)

Достаточность: По определению предела, для х а должно выполняться неравенство |f(x) – b| < , где > 0 , и оно выполняется |b + (x) – b| = | (x)| < , т.к. б.м.в. (х) делается меньше любого наперед заданного числа

3. Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов.

Док-во. Пусть lim f₁(x) = b₁ , lim f₂(x) = b₂ при х а. Сумму двух функций в окрестности точки а согласно Т.2 представим в виде f₁(x) + f₂(x) = (b₁ + ₁(x)) + + (b₂ + ₂(x)) = b₁ + b₂ + (x), где б.м.в. (х) = ₁ (х) + ₂(x) согласно Л.1 .

Тогда lim [f₁(x) + f₂(x) - b₁ - b₂ ] = lim (x) = 0 при х а и по определению

lim [f₁(x) + f₂(x)] = b₁ + b₂ = lim f₁(x) + lim f₂(x) .

х а х а х а