Лекция 8 Исследование свойств дискретной сар

Используя найденные выше передаточные функции дискретного и цифро–аналогового преобразователей W (z) и Wцап(p) (формулы 25 и 29),

можно построить математическую модель дискретной САР, для этого:

вводится понятие приведённой непрерывной части системы (ПНЧ)–

последовательного соединения ЦАП, НЧС и ДОС (рис.17);

определяется передаточная функция приведённой непрерывной части системы:

W (p)= Wцап(p)*W (p)*W (p), (31)

дискретизация сигнала ε(t)= x (t)– x (t) заменяется на дискретизацию сигналов x (t) и x (t) с шагом τ, в результате чего сигнал ε на входе ЦВМ (рис.17) представляется в виде:

ε =x –x , (32)

передаточная функция W (p) преобразуется в Z–передаточную функцию приведённой непрерывной части системы W (z),

через передаточную функцию W (z) устанавливается связь между

Z–изображениями сигналов u и x :

Z{ x }= W (z)*Z{ u }, (33)

В соответствии с выражениями (23) и (33) структурная схема дискретной САР представляется в виде (рис.21):

Рис.21. Структурная схема дискретной САР

--------------------24 билет--------------------

Для определения Wпнч(z) по известной Wпнч(p) существует несколько способов. Один из них:

а) определяется импульсная переходная характеристика g(t) с помощью обратного преобразования Лапласа:

g(t) = L-1{Wпнч(p)};

б) эта функция дискретизируется с шагом τ: gд = {g(0); g(τ); …};

в) определяется Z-изображение дискретной последовательности gд с помощью обратного Z–преобразования:

Z{gд} = Z {Wпнч(z)}.

Для структурной схемы (рис.21) определяются:

1) Z–передаточная функция разомкнутой системы (Z-ПФРС):

Wрс(z) = Wдп(z)* Wпнч(z); (34)

2) Z–передаточная функция замкнутой системы (Z-ПФЗС): Wзс(z) = Wрс(z) / (1+ Wрс(z)) = (amzm + …+ a1z + a0) / (cnzn + …+ c1z + c0); (35)

3) Характеристическое уравнение замкнутой системы:

cnzn + …+ c1z + c0=0. (36)

--------------------26 билет--------------------

Оценка устойчивости и показателей качества дискретной системы

Условие устойчивости замкнутой дискретной системы формулируется следующим образом: система будет устойчивой тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения замкнутой системы (36)

cnzn + … + c1z + c0 = 0

по модулю меньше 1, т.е.|zi| < 1. (37)

Геометрический смысл условия (37): корни характеристического уравнения (36) лежат внутри круга радиуса 1 на комплексной плоскости.

Можно доказать, что дискретизация сигнала с шагом τ приводит к уменьшению запаса устойчивости по фазе на частоте среза (по сравнению с непрерывной системой) на величину ωср*τ/2,

Следовательно, если непрерывная система имела запас устойчивости по фазе, равный Δφ (ωср), то дискретная система будет иметь запас устойчивости по фазе Δφ (ωср)= Δφ (ωср)– ωср*τ/2, откуда можно определить критическую величину шага дискретизации τкрит , при которой дискретная система потеряет устойчивость:

Δφ (ωср)= Δφ (ωср)– ωср* τкрит /2=0,

откуда находим: τкрит = 2 Δφ (ωср) / ωср. (38)

В выражении (38) запас по фазе измеряется в радианах, при переводе его в градусы получим: τкрит = Δφ (ωср)*π /(90* ωср). (39)

При τ ≥ τкрит дискретная система будет неустойчивой.

Показатели качества процесса регулирования (время регулирования, перерегулирование, установившаяся ошибка рассогласования) определяются по переходной характеристике замкнутой системы, которую можно рассчитать по известной Z–передаточной функции Wзс(z) замкнутой системы

(формула 35) следующим образом:

• определяется Z–изображение задающего воздействия x =1(t), дискретизированного с шагом τ:

Z{1(t)}=

• определяется Z–изображение дискретной переходной характеристики:

H (z)= * Wзс(z),

• с помощью обратного Z–преобразования вычисляется дискретная переходная характеристика замкнутой системы:

h (kτ)=Z { H (z)}.

По переходной характеристике определяются показатели качества процесса регулирования так же, как и для непрерывной системы (см. Лекция 4, рис. 12).

--------------------28 билет--------------------