Лекция 5 Модель динамической системы в пространстве состояний

Исследование систем с помощью передаточных функций и частотных характеристик позволяет обеспечить требования устойчивости системы и требуемых показателей качества, однако имеется ряд свойств систем управления, которые невозможно оценить с помощью передаточных функций и частотных характеристик. Такими свойствами являются:

1. управляемость системы;

2. наблюдаемость системы.

Эти свойства можно ценить только по модели в пространстве состояний.

Построение модели в пространстве состояний (МПС)

Пусть управляемый объект задается передаточной функцией W(p) = (b_mp^m + … + b₁p + b₀) / (a_npⁿ + … + a₁p + a₀), (1)

где m <= n, отсюда Y(p) = (b_mp^m + … + b₁p + b₀) / (a_npⁿ + … + a₁p + a₀) * U(p)

Введем обозначение: Z₁(p) = U(p) / (a_npⁿ + … + a₁p + a₀), (2) тогда Y(p) =(b_mp^m + … + b₁p + + b₀) * Z₁(p). (3)

Используя теорему о дифференцировании оригинала, перейдем от алгебраических уравнений (2) и (3) к дифференциальным уравнениям: a_n·dⁿz₁/dtⁿ + … + a₁·dz₁/dt + a₀z₁(t) = u(t); (4)

y(t) = b_m·d^mz₁/dt^m + … + b₁·dz₁/dt + b₀z₁(t). (5)

Решая уравнение (4) с некоторыми начальными условиями, можно найти функцию z₁(t), после чего по выражению (5) определяется выходной сигнал y(t). Уравнение (4) n-го порядка можно записать системой из n дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводятся промежуточные переменные :

dz₁/dt = z₂;

dz₂/dt = z₃;

……..;

dz_n-1/dt = z_n. (6)

После этого из уравнения (4) находим:

dzn/dt = –an-1*zn/an – an-2*zn-1/an - … - a1*z2/an – a0*z1/an + 1*u(t)/an.

Введем вектор z = [z1(t); z2(t); …; zn(t)] , где – символ транспонирования вектора, и матрицы A, B.

Тогда систему уравнений (6) можно записать в матричной форме следующим образом:

dz/dt = Az + Bu(t) (7)

Учитывая условие физической реализуемости (m≤n), положим:

bn = bn-1 = … = bm+1 = 0,

тогда уравнение (5) можно записать в виде:

y(t) = bndnz1/dtn + … + bm+1dm+1z1/dtm+1+bmdmz1/dtm + … + + b1dz1/dt + b0z1

Используя соотношения (6), преобразуем это уравнение к виду:

y(t) = (b0-a0bn/an)z1 + (b1-a1bn/an)z2 + … + (bn-1-an-1bn/an)zn + bnU(t)/an. (8)

Введем матрицу C = [(b0-a0bn/an); (b1-a1bn/an); … ; (bn-1-an-1bn/an) ] размером [1xn] и скаляр D = [bn/an], тогда выражение (8) запишется так:

y(t) = Cz(t) + Du(t) . (9)

Матричные уравнения (7,9), задаваемые 4-мя матрицами A,B,C,D, называются моделью САР в пространстве состояний (МПС), векторная

функция z(t) характеризует изменение вектора состояния с течением времени.

Вектором состояния системы называется такой вектор, знание которого в некоторой момент времени t0 вместе с входным воздействием u(t) на интервале t ≥ t0 позволяет определить состояние системы z(t) в любой момент времени из интервала t ≥ t0 . Это состояние z(t) для любого момента времени t ≥ t0 определяется путем решения матричного дифференциального уравнения (7). Решая (7) с начальным условием z(t0)=z0, получим: z(t) = eA(t-t0) z0 + A(t-τ) Bu(τ)dτ (10).

В выражении (10) матричная компонента Ф(t)=eAt называется фундаментальной матрицей уравнения (7). Зная фундаментальную матрицу,

решение уравнения (7) можно записать в следующем виде:

z(t) = Ф(t-t0)z0 + (t- τ)Bu(τ)dτ . (11)

Способы вычисления фундаментальной матрицы

1) С помощью ряда Тейлора: eAt=E[nxn] + At/1! + A2t2/2! + … + Aktk/k! + (т.к. ex=1+x/1!+x2/2!+…)

2) Путем решения матричного уравнения: dФ/dt = AФ с начальным условием Ф(0) = E[nxn] – единичная матрица.

3) С помощью собственных чисел и собственных векторов матрицы А.

Получив решение уравнения (7), можно найти выходной сигнал y(t) по уравнению (9):

y(t) = CФ (t-t0) z0 + C (t-τ)Bu(τ)dτ + Du(t) . (12)

--------------------15 билет------------------------

Определение передаточной функции по известной модели в пространстве состояний

Модель (7,9) можно преобразовать в систему алгебраических уравнений с помощью преобразования Лапласа. z[nx1](t) Z[nx1](p); dz/t pZ(p)-Z(0). Задавая в уравнении (7) начальное условие z[nx1](0) = [0,…,0] и используя теорему о дифференцировании оригинала, получим: pZ(p) = AZ(p) + BU(p); (pE – A) Z(p) = BU(p);

Z(p) = (pE – A)-1 BU(p) (13).

Преобразуя по Лапласу равенство (8) и подставляя в него выражение (13), получим:

Y(p) = [C (pE-A)-1B + D] U(p) (14)

Отсюда находим передаточную функцию:

W(p) = Y(p)/U(p) = C[1xn](pE-A)-1[nxn]B[nx1] + D[1x1] (15).

--------------------16 билет------------------------