8. Передаточная функция, передаточное отношение, аналог скорости.

Пусть при кинематическом анализе кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.18а) мы исследуем движение ползуна B. При движении от нижнего положения график его скорости будет иметь вид, показанный на рис. 2.18б.

У этой функции есть две характеристики: её форма и её размах vBm. Форма зависит от сочетания размеров механизма, то есть от его внутренних свойств. А размах – от величины угловой скорости входного кривошипа 1, то есть от внешнего сигнала. При решении очень многих задач, и не только в механике, желательно разделить – что зависит от внутренних свойств объекта, а что – от внешних факторов.

Скорость это первая производная от перемещения по времени:

vB = dxB/dt.

В этом выражении внутренние и внешние свойства перемешаны. Разделим их, расписав полную производную по времени через частные – по обобщённой координате и времени:

Теперь первый сомножитель SB’, названный передаточной функцией, содержит информацию о внутренних свойствах механизма, а второй 1 – о внешнем сигнале.

Физический смысл передаточной функции становится очевиден, если её записать так: SB’ = vB/1, то есть это скорость ползуна при 1 = 1. Следовательно, для её построения достаточно произвести кинематический анализ механизма, например, методом векторных контуров при 1 = 1, 1 = 0.

Пусть при кинематическом анализе кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.19а) мы исследуем вращательное движение шатуна 2. При движении от нижнего положения ползуна график угловой скорости шатуна будет иметь вид, показанный на рис. 2.19б.

Дальнейшие действия аналогичны тому, что выполнялось для передаточных функций. Собственно передаточное отношение это вид передаточной функции. Форма графика 2 зависит от сочетания размеров механизма, то есть от его внутренних свойств. А размах – от величины угловой скорости входного кривошипа 1, то есть от внешнего сигнала.

Угловая скорость это первая производная от угла поворота по времени:

2 = d2/dt.

В этом выражении внутренние и внешние свойства перемешаны. Разделим их, расписав полную производную по времени через частные – по обобщённой координате и времени:

Теперь первый сомножитель i21, названный передаточным отношением, содержит информацию о внутренних свойствах механизма, а второй 1 – о внешнем сигнале.

Физический смысл передаточного отношения становится очевиден, если его записать так: i21 = 2/1, то есть это угловая скорость шатуна при 1 = 1. Следовательно, для её построения достаточно произвести кинематический анализ механизма, например, методом векторных контуров при 1 = 1, 1 = 0.

Обобщим полученный результат. Передаточным отношением от звена с номером j к звену с номером k называется отношение угловых скоростей звеньев:

ijk = j/k.

Для рассмотренного рычажного механизма передаточное отношение i21 это величина переменная, а, например, для подавляющего большинства зубчатых механизмов – это константа. Но этот вопрос рассмотрен в соответствующем разделе данного пособия.

9. Кинематический анализ, постановка задачи

Если число степеней свободы механизма W = 1, то при фиксированных размерах звеньев значения их кинематических параметров движения однозначно определяются значениями кинематических параметров движения одного звена, называемого входным, которым и считается то звено, характер движения которого при кинематическом анализе полагается известным.

Тогда задача кинематического анализа формулируется следующим образом: при известных мгновенных значениях кинематических параметров движения входного звена определить мгновенные значения кинематических параметров движения остальных звеньев.

Таким образом, задача кинематического анализа решается автономно в каждом положении механизма, а для полного кинематического исследования её надо решить многократно для ряда последовательных положений механизма за весь цикл его работы.

В дальнейшем при нумерации звеньев входное всегда будет иметь номер 1. Если оно совершает вращательное движение, то по условию задачи должны быть заданы: его угол поворота ₀₁от оси Х₀ неподвижной системы координат (НСК), угловая скорость ₁, угловое ускорение ₁. Если вращающееся входное звено совершает полные обороты, то его называют кривошипом. Часто его угол поворотаудобно отсчитывать от того значения ₀₁, которое соответствует какому-то характерному положению механизма, например, крайнему положению рабочего органа, тогда будем обозначать его ₁.

В результате решения задачи для звеньев, совершающих сложное движение, например, шатуны, необходимо определить:

а) поступательную составляющую движения, характеризуемую положением, скоростью и ускорением центра масс,

б) вращательную составляющую, характеризуемую углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением звена. Для вращающихся звеньев достаточно определить их угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение. Для поступательно движущихся звеньев – положение интересующей нас точки, например, центра масс и еголинейную скорость и ускорение.

Решение описанной задачи опирается на структурный анализ механизма. Общая последовательность кинематического расчета следующая.

1. По исходно заданным кинематическим параметрам движения входного звена определяются параметры движения той его точки, в которой присоединяется первая структурная группа. Эти значения преобразуются в её систему координат.

2. Производятся расчеты для этой структурной группы и вычисляютсяпараметры движения той точки её звена, в которой присоединяется следующая группа.

3. Эти значения преобразуются в систему координат следующей структурной группы, производится её расчет и т.д.

В соответствии с описанным алгоритмом строится и дальнейшее изложение. Сначала будет рассмотрена кинематика входных механизмов, а после этого расчет структурных групп, для которых уже можно будет полагать, что параметры движения входных кинематических пар известны. Основные расчетные зависимости для структурных групп получим методом векторных контуров [5, 9, 14, 18], параметры движения характерных точек на звеньях, таких как центры масс, рабочий орган и т.п. – методом преобразования координат.

Расчетные зависимости для определения кинематических параметров движения звеньев будут получены для структурных групп 2 класса 2 порядка. При этом итоговые выражения в качестве необходимых исходных данных будут содержать параметры движения входных кинематических пар. Это позволяет использовать полученные зависимости для расчета механизмов, содержащих несколько структурных групп и при различных видах движения входного звена.

Метод планов скоростей и планов ускорений

Скорости и ускорения могут быть определены с помощью графических построений, которые называются соответствующими планами.

Из теоретической механики известно, что движение некоторой точки М по отношению к основной системе отсчета, которая принята за неподвижную, называется абсолютным, по отношению к подвижной системе отсчета - относительным, а движение подвижной системы отсчета по отношению к основной - переносным движением. Скорость и ускорение точки М по отношению к каждой из систем называют соответственно абсолютными скоростью и ускорением или относительными скоростью и ускорением . Скорость и ускорение точки М', связанной с подвиж­ной системой отсчета и совпадающей в данный момент с дви­жущейся точкой М, называют переносной скоростью и ускорением .

Абсолютные скорость и ускорение любой точки можно найти из векторных уравнений вида

,	(2.7)
.	(2.8)

В общем случае переносное и относительное ускорения состоят из нормальной (центростремительной) и тангенциальной (касательной) составляющих

,	(2.9)
.	(2.10)

Кориолисово (поворотное) ускорение определяется равенством

,

(2.11)

а его величина равна:

,

(2.12)

где и - вектор и величина переносной угловой скорости. Из выражений (2.11) и (2.12) следует, что в трех случаях: когда переносное движение является поступательным (=0), когда точка имеет мгновенную остановку в относительном движении (_r = 0), когда векторы и параллельны (sin(,) = 0).

Методы планов скоростей и ускорений позволяют с помощью графических построений решать системы уравнений типа (2.7) и (2.8). Покажем это на двух простых примерах.

Рассмотрим структурную группу 1-го вида (рис. 2.6,а), для точек В и D которой известны скорости и , а также ускорения и . Нужно определить скорости и ускорения точек С, S₂ и S₃.В неподвижной системе отсчета точки С₂и С₂ звеньев 2 и 3 движутся одинаково, постоянно совпадая с центром шарнира С. Расстояния ВС₂= ВС и DC₃=DC при этом не изменяются.

Подставляя в выражение (2.7) для звена2, и , а для звена 3 - , , , получаем систему уравнений

в которых известны и ,а неизвестны величина и направление , а также величины векторов и . Такую систему уравнений можно решить графически.

Для этого из произвольной точки Р_v, названной полюсом плана скоростей, откладываем в удобном масштабе векторы и,а через их концы bиd проводим прямые, параллельные относительным скоростям и,т. е. перпендикулярные отрезкам СВ и CD (рис. 2.6,б). Точка с пересечения этих прямых будет являться концом вектора , начало которого лежит в полюсе плана Р_v. Относительные скорости ибудут представлены векторами и .

Рис. 2.6

Планом скоростей звена называют геометрическое место концов векторов скоростей всех точек этого звена (каждый вектор начинается в полюсе Р_v).

Для нахождения скоростей и , точек S₂ и S₃ удобно воспользоваться так называемым правилом подобия: план скоростей звена подобен самому звену и повернут по отношению к нему на угол 90°. Поэтому концыS₂иS₃ векторов и можно определить делением отрезков bc и cd в соответствии с пропорциями

и .

(2.13)

Величины всех найденных скоростей находятся с учетом принятого масштаба. Вся совокупность построений называется планом скоростей группы.

В данном случае переносное движение является поступательным (), поскольку звенья2 и3 образуют друг с другом вращательную пару и поворот одного звена не вызывает поворота другого. Для определения ускорения точки С используем выражение (2.8), а с учетом и получим такую систему уравнений:

; ,

(2.14)

где и - нормальные (центростремительные) составляющие относительных ускорений, направленные параллельно СВ и CD от точки С в сторону точек В и D; и - тангенциальные (вращательные) составляющие относительных ускорений, направленные перпендикулярно отрезкам ВС и CD.

Величины нормальных составляющих определяют с помощью выражений и , в которые подставляются и,найденные из плана скоростей. После определения нормальных составляющих систему (2.14) можно решить графически. Для этого из произвольно взятой точки Р_а - полюса плана ускорений - откладываем в удобном масштабе векторы и , затем пристраиваем в точках b и d векторы и , а через концы n₁ и n₂ последних проводим прямые, параллельные и (рис. 2.6,в). Точка пересечения с этих прямых и будет являться концом вектора , начало которого лежит в полюсе плана Р_а, а также концом каждого из векторов и ,начинающихся в точках n₁ и n₂.

Для нахождения ускорений и снова воспользуемся правилом подобия: план ускорений звена подобен самому звену и повернут по отношению к нему на угол . Поэтому для построения точек s₂ и s₃ остаются справедливыми пропорции (2.13). Эти точки находят после проведения отрезков bc и dc. Вся совокупность выполненных построений называется планом ускорений группы.

Теперь на примере структурной группы 3-го вида (рис. 2.7,а) рассмотрим более общий случай. Звенья 2 и 3такой группы образуют друг с другом поступательную пару, и поворот одного из них влечет за собой поворот другого. Кроме того, совпадающие в данный момент с точкой С точки С₂, и С₃ движутся по-разному, т. е. имеют различные скорости и ускорения. Расхождение точек C₂ и С₃ по прямой будем считать относительным движением, а вращение звеньев группы с угловой скоростью - переносным.

К точке В потребуется подойти так же, как и к точке С, т. е. считать, что в точке В помимо реальной точки В₂, принадлежащей звену 2, находится воображаемая точка В₃, принадлежащая звену 3.

Для простоты положим, что звено 3 вращается вокруг неподвижной точки D, т. е. и , с известной в данный момент угловой скоростью ₃. Заданными будем считать скорость и ускорение точки В на звене 2.Определению подлежат скорости и ускорения точек B₃, C₂, C₃, S₂, и S₃.

Сначала определим и . Затем с учетом формулы (2.10) составим систему уравнений , в которых известны направления векторов ||CD и BC.

Отложив в удобном масштабе из выбранного полюса Р_vвекторы и (рис. 2.7,б) и проведя через их концы c₃ и b₂ прямые, параллельные ||CD и BC, находим точку их пересечения c₂, являющуюся концом вектора . Для нахождения точек s₂ и s₃ и векторов и снова используем правило подобия и отношения (2.13), в которых b нужно заменить на b₂, а с- на c₂ или c₃ и учесть, что точка d совпадает с полюсом Р_v.

Помимо этого на плане скоростей группы нужно изобразить уже известный вектор и найти относительную скорость ||CD, которая потребуется в дальнейшем. Если все построения верны, то в соответствии с правилом подобия db₃c₃ ~ DBC.

с

Рис. 2.7

Для определения ускорений используем формулы (2.8) - (2.10), которые позволяют получить необходимые системы уравнений. Так, для точки В₂; , где и .

Отложив из полюса Р_а в удобном масштабе известные векторы и (рис. 2.7,в), пристраиваем концом к точке b₂ вектор , через его начало проводим прямую, параллельную ||CD, а через конец вектора -точку п - прямую, параллельную . Пересечение этих прямых дает нам точку b₃-конец вектора .

Для нахождения ускорения точки С₃ используем правило подобия, построив на отрезке db₃ (здесь точка dсовпадает с полюсом плана Р_а) как на стороне и двум примыкающим к ней углам треугольник db₃c₃, подобный треугольнику DBC.

Теперь можно решить такую систему уравнений:

; , где и .

Отложив из найденной предыдущим построением точки С₃ вектор , проведем через его конец прямую, параллельную ||CD. Затем, отложив из точки b₂ вектор ||ВС, проведем через его конец прямую, параллельную (ВС). Пересечение указанных прямых дает нам точку С₂ - конец вектора . Точки s₂ и s₃, определяющие концы векторов и , находим по правилу подобия пропорциональным делением отрезков b₂c₂ и c₃d.

10. Метод планов скоростей и ускорений

Смотри пункт 9

11. Метод замкнутых векторных контуров

Смотри пункт 9

12. Метод графического дифференцирования

?

13. Классификация кулачковых механизмов.

Кулачковым называется механизм, в составе которого есть асимметричное звено, называемое кулачком, рабочий профиль которого определяет кинематические свойства механизма. Примеры представлены на рис. 3.1. Звено, контактирующее с кулачком непосредственно или через ролик, называется толкателем или, если оно совершает качательные движения – коромыслом (вращающимся толкателем).

Средства, применяемые для обеспечения непрерывности контакта кулачка и толкателя, называются замыканием механизма.

Кулачковые механизмы классифицируются по ряду признаков.

1. По назначению.

а) Позиционные. У них в процессе работы выходное звено должно занять ряд конкретных положений (позиций). В самом простом случае они предназначенные для “переброски” выходного звена из одного крайнего положения в другое и обратно. Примером такого механизма является кулачковый механизм бензинового двигателя, открывающий и закрывающий клапан впрыска топлива.

б) Функциональные. Эти механизмы в процессе работы должны реализовывать требуемую функцию перемещения выходногозвена.

2. По характеру движения кулачка:

а) Механизмы с вращающимся кулачком (рис. 3.1а-е,з).

б) Механизмы с поступательно движущимся кулачком (рис. 3.1ж). Такие кулачки часто называют копирами.

3. По характеру движения толкателя:

а) Механизмы с вращающимся толкателем (коромыслом) (рис. 3.1а,г).

б) Механизмы с прямолинейно движущимся толкателем (рис.3.1б,в,д,е,ж,з).

4. По характеру контакта между кулачком и толкателем:

а) Механизмы с роликовым контактом (рис. 3.1а,б,в,ж).

б) Механизмы с плоским толкателем (рис. 3.1г,д).

в) Механизмы с заостренным толкателем (рис. 3.1з).

5. По типу замыкания:

а) Механизмы с силовым замыканием (рис. 3.1а,б,г,д,ж,з), когда непрерывность контакта кулачка и толкателя обеспечивается некоторой силой, например, силой прижимной пружины (рис. 3.1а,г).

б) Механизмы с геометрическим замыканием (рис. 3.1в,е), когда непрерывность контакта кулачка и толкателя обеспечивается за счет того, что толкатель или ролик толкателя движется внутри паза в кулачке.

6. По типу ведущего звена:

а) Механизмы с ведущим кулачком.

б) Механизмы с ведущим толкателем.

7. По расположению звеньев:

а) Плоские механизмы (рис. 3.1а,б,г,д,ж,з).

б) Пространственные механизмы (рис. 3.1е).

Если толкатель и кулачок контактируют через ролик, то различают следующие профили кулачка. Центровой профиль (ЦП) – траектория центра ролика на вращающейся плоскости кулачка. Рабочий профиль (РП) – профиль, по которому кулачок изготавливается.

С точки зрения структуры ролик (если он есть) является пассивным звеном и при вычислении числа степеней свободы его следует условно удалить и тогда для всех плоских механизмов, представленных на рис. 3.1 число степеней свободы по формуле Чебышева

W = 3n – 2p5 – p4 = 3 . 2 – 2 . 2 – 1 = 1

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только плоских механизмов с вращающимся кулачком.

14. Связь фазовых и конструктивных углов КМ, угол давления.

Кулачковые механизмы могут реализовывать на выходном звене законы движения практически любой сложности. Но любой закон движения может быть представлен комбинацией следующих фаз:

1. Фаза удаления. Процесс перемещения выходного звена (толкателя или коромысла), когда точка контакта кулачка и толкателя удаляется от центра вращения кулачка.

2. Фаза возврата (приближения). Процесс перемещения выходного звена, когда точка контакта кулачка и толкателя приближается к центру вращения кулачка.

3. Фазы выстоя. Ситуация, когда при вращающемся кулачке точка контакта кулачка и толкателя неподвижна. При этом различают, фазу ближнего выстоя – когда точка контакта находится в самом ближнем положении к центру кулачка, фазу дальнего выстоя – когда точка контакта находится в самом дальнем положении от центра кулачка и фазы промежуточных выстоев. Фазы выстоя имеют место, когда точка контакта движется по участку профиля кулачка, имеющего форму дуги окружности, проведенной из центра вращения кулачка.

Приведенная классификация фаз в первую очередь относится к позиционным механизмам.

Каждой фазе работы соответствует свой фазовый угол работы механизма и конструктивный угол кулачка.

Фазовым углом называется угол, на который должен повернуться кулачок, для того, чтобы полностью прошла соответствующая фаза работы. Эти углы обозначаются буквой  с индексом, указывающим тип фазы, например, _У – фазовый угол удаления, _Д – фазовый угол дальнего выстоя, _В – фазовый угол возврата, _Б – фазовый угол ближнего выстоя.

Конструктивные углы кулачка определяют его профиль. Они обозначаются буквой  с такими же индексами. На рис. 3.2а показаны эти углы. Они ограничены лучами, проведенными из центра вращения кулачка в точки на его центровом профиле, в которых меняется профиль кулачка при переходе от одной фазы к другой.

На первый взгляд может показаться, что фазовые и конструктивные углы равны. Покажем, что это не всегда так. Для этого выполним построение, показанное на рис. 3.2б. Здесь механизм с толкателем при наличии у него эксцентриситета установлен в положение, соответствующее началу фазы удаления; к – точка контакта кулачка и толкателя. Точка к’ – это положение точки к, соответствующее окончанию фазы удаления. По построению видно, что для того чтобы точка к заняла положение к’ кулачок должен повернуться на угол _У, не равный _У, а отличающийся на угол е, называемый углом эксцентриситета. Для механизмов с толкателем можно записать соотношения:

_У = _У + е, _В = _В – е,

_Д = _Д,_Б = _Б

15. Классификация зубчатых механизмов.

Зубчатые – это, наверное, самый широко распространенный класс механизмов. Большое разнообразие этих механизмов можно классифицировать следующим образом.

1. По структуре и кинематике:

а) механизмы с неподвижными осями колес (рис. 4.1а,в,г,д,е,ж);

б) механизмы, в составе которых есть колеса с подвижными осями: планетарные (рис. 4.1б) и дифференциальные;

в) механизмы, в составе которых есть упруго деформируемые колеса (волновые).

2. По расположению осей колес:

а) механизмы с параллельными осями колес (цилиндрические рис. 4.1а,д,е,ж);

б) оси колес пересекаются (конические – рис. 4.1в);

в) оси колес скрещиваются (винтовые – рис. 4.1г, червячные, гипоидные).

3. По форме рабочей поверхности зуба:

а) эвольвентные;

б) циклоидальные;

в) часовое зацепление (приближенное на основе циклоидального);

г) зацепление Новикова;

д) цевочное зацепление.

4. По форме оси зуба: а) прямозубые (рис. 4.1д);

б) косозубые (рис. 4.1е);

в) шевронные (рис. 4.1ж);

г) винтовые (рис. 4.1г).

16. Основная теорема зацепления, следствия из нее.

Основная теорема зацепления или теорема Виллиса формулируется следующим образом (рис. 4.2а). Общая нормаль к поверхностям двух вращающихся тел, проведенная в точке контакта отсекает от межцентрового расстояния отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев. То есть:

Доказательство. Пусть k – точка контакта, w – точка пересечения общей нормали n-n с линией межцентрового расстояния O1O2. Построим план скоростей vК1 – скорость точки k, если считать её принадлежащей звену 1, vК2 – скорость точки k, если считать её принадлежащей звену 2 (см. рис. 4.2а). Условием непрерывности контакта является равенство проекций этих скоростей на общую нормаль n-n: vК1n = vК2n.

Угловые скорости звеньев:

Из подобия треугольников:O1b1kka1С и O2b2kka2С:

( 5.1 )

Тогда отношение угловых скоростей:

Последнее равенство в соотношениях (4.1) следует из подобия треугольников:O1b1WO2b2W (см. рис. 4.2а). Теорема доказана.

Когда в процессе движения точка k проходит положение w, то в этот момент равны, не только нормальные, но и касательные составляющие скорости vК1 = vК2, т.е. скорости полностью равны, поэтому точка w названа полюсом зацепления.

По определению, отношение угловых скоростей называется передаточным отношением:

Как правило, при проектировании зубчатых механизмов требуется постоянное передаточное отношение.

Следствия из основной теоремы зацепления. Для того чтобы передаточное отношение было постоянным необходимо, чтобы в процессе зацепления полюс зацепления не менял своего положения.

В свою очередь для того, чтобы полюс зацепления не менял своего положения необходимо, чтобы профили контактирующих поверхностей представляли собой взаимоогибаемые кривые.

В полной мере этому требованию удовлетворяют циклоиды (см. рис. 4.2б), которые образуются при перекатывании без скольжения одной окружности по другой. И исторически первым правильным зацеплением было именно циклоидальное, т.е. такое, когда боковые поверхности зубьев представляют собой отрезки циклоид.

Однако у циклоидального зацепления есть недостаток – его сравнительно высокая стоимость. Причины этого рассматриваются позже в подразделе “Методы изготовления зубчатых колес”.

Требованию основной теоремы зацепления удовлетворяет и эвольвента окружности – кривая, образующаяся при перекатывании без скольжения прямой по окружности (см. рис. 4.2в). Изготовление колес с эвольвентным профилем зубьев оказалось гораздо более дешевым, и, несмотря на то, что такие колеса имеют несколько большие размеры, – эвольвентное зацепление в машиностроении получило самое широкое применение. В дальнейшем рассматривается именно этот вид зацепления.