4. Решение систем линейных уравнений

В MathCad систему линейных уравнений можно решить двумя способами:

• с помощью встроенной функции lsolve;

• с помощью вычислительного блока Given и функции find.

Примечание. Функции lsolve и find вводятся с помощью кнопки f(x) стандартной панели инструментов (категории функций – Решение), ключевое слово Given с клавиатуры, знак равно (=) – с панели Булево.

Пример.

Пусть задана система линейных уравнений:

x₁ + 5x₂ + 2x₃ = 1

0,7x₁ + 12x₂ + 5x₃ = 2,9

3x₁ + 0x₂ + 4x₃ = 3,1

Обозначим:

А – матрица коэффициентов при неизвестных размерности mn,

B – вектор свободных членов размерности n.

Для решения системы линейных уравнений с помощью встроенной функции lsolve требуется выполнить следующие действия:

• ввести матрицу коэффициентов;

• ввести вектор свободных членов;

• вычислить корни уравнения.

При решении системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given выполняются следующие действия:

• присвоить неизвестным начальные значения: x:=0 y:=0 z:=0 (значения могут быть произвольными, так как решение системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей единственное);

• ввести ключевое слово Given;

• ввести систему линейных алгебраических уравнений (знак = с панели Условие);

• для получение результата ввести функцию find.

Примечание. При использовании вычислительного блока переменные с индексами необходимо заменить простыми переменными. В рассматриваемом примере x₁ заменено x, x₂ – y, x₃ – z.

5. Вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений

В MathCad можно вычислять корни алгебраических и трансцендентных уравнений f(x)=0, если известно начальное приближение к корню x₀ или интервал, внутри которого может находиться значение корня. Значение корня вычисляется с точностью TOL, которая устанавливается из меню Математика командой Параметры на вкладке Переменные в поле Допуск сходимости. По умолчанию TOL=0.001.

Значение корня вычисляется с помощью функции root (f(x), x), если задано начальное приближение к корню и root (f(x), x,a,b), если задан интервал, где

f(x) – функция, определяющая уравнение;

x – переменная, относительно которой решается уравнение;

a, b – границы интервала, внутри которого выполняется поиск корня.

Пример вычисления значения корня трансцендентного уравнения

 cos(x) –x = 0 при начальном приближении к корню, равном 0.6:

• присвоить переменной x начальное приближение к корню;

• ввести уравнение f(x);

• ввести функцию root() и после нее знак = для получения результата вычисления.

x:=0.6 f(x):=cos(x)-x root(f(x),x)=0.739

или

root(cos(x)-x,x)=0.739

Пример вычисления значения корня трансцендентного уравнения sin(x)=0 на интервале [-1;1].

root(sin(x),x,-1,1)=0

6. Основы программирования в MathCad

Версии MathCad 2000 и выше позволяют вставлять в документы выполняемые программные блоки. Программа представляет собой построчную запись конструкций (операторов) языка программирования MathCad.

Язык программирования содержит четыре основных оператора: присваивания, условный, цикла и возврат значения. Для вставки программных блоков в документы используется панель Программирование. Практически все кнопки этой панели выполнены в виде текстового представления операторов программирования, поэтому их назначение понятно каждому, кто имеет хотя бы представление о какой-либо системе программирования.

Любой программный блок начинается с ввода вертикальной линии с панели Программирование щелчком по символу Add Line. Автоматически линия распространяется на две строки программного блока. Если длину линии требуется увеличить, то необходимо щелкнуть левой клавиши мыши по местозаполнителю последней строки и символу Add Line.

Оператор присваивания

Используется для присваивания значения некоторой переменной. В программе изображается как . Слева от стрелки записывается переменная, а справа – ее значение. Переменная, значение которой определяется с помощью оператора , рассматривается как локальная, она доступна только в пределах программного блока.

Например, чтобы в программе переменной x присвоить значение 0, необходимо записать следующую конструкцию: x0.

Примечание. Знак  вводится щелчком левой клавиши мыши по соответствующей кнопке на панели Программирование.

Условный оператор

Условный оператор if служит для вычисления значения переменной в зависимости от заданного условия.

В программу вводится щелчком левой клавиши мыши по символу if панели Программирование. Логические операторы, которые служат для проверки истинности или ложности заданного условия вводятся с панели Булево.

После ввода в программу оператора if перед ним и после него отображаются местозаполнители: . Справа от оператора if в местозаполнитель записывается условие, а в местозаполнитель слева – значение, которое требуется присвоить некоторой переменной.

Если требуется проверить несколько условий, то используется несколько операторов if, каждый из которых располагается в отдельной строке.

С одним или несколькими операторами if можно использовать оператор otherwise, который будет выполняться, если ни одно из условий не будет истинным. При вводе оператора otherwise справа от него отобразится местозаполнитель, в котором записывается соответствующее значение.

Например, программа заполнения массива С по правилу:

в MathCad записывается следующим образом:

Программа для вычисления функции:

б удет иметь вид:

Операторы цикла

Оператор цикла for служит для организации циклических вычислительных процессов и вводится щелчком по символу for на панели Программирование. После его ввода в первой строке отображается ключевое слово for и два местозаполнителя. В первый местозаполнитель вводится имя параметра цикла, а во второй – диапазон его значений. Во второй строке отображается третий местозаполнитель, который используется для записи операторов, составляющих тело цикла.

Пример нахождения элемента с минимальным значением среди отрицательных элементов вектора:

Примечание. Для нахождения минимума среди всех элементов вектора можно применить функцию min, например: min(A) = -13.

П ример подсчета количества положительных элементов в четных строках матрицы.

Запись программного блока может выглядеть и так:

Примечание. Функция mod() используется для получения остатка от деления целых чисел.

Литература:

1. Дьяконов В. MathCad 2001. Учебный курс. Санкт-Петербург, Питер, 2001.

2. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCad 2001. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

Введение 2

1. Среда пакета прикладных программ MathCad 2

1.1. Назначение команд основного меню 2

1.2. Назначение панелей инструментов MathCad 3

1.3. Назначение рабочей области документа 4

2. Создание и редактирование документов 4

2.1. Ввод и редактирование текста 5

2.2. Импорт текста в документ 5

2.3. Ввод в текст математических выражений 5

2.4. Ввод математических выражений в документы MathCad 6

3. Работа с массивами данных 14

3.1. Заполнение массивов 14

3.2. Операции над массивами 16

4. Решение систем линейных уравнений 18

5. Вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений 20

6. Основы программирования в MathCad 20