Uch_posobie_MiR (typo vsya zachita)

На практике определение измеряемого параметра является целью измерений и самое большее, что о нём можно узнать – это оценку. Подставив в выражение (5) ȃ вместо A, а соответствующую оценку дисперсии обозначив S2, получим:

Оценка (6) является состоятельной, но смещенной. Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S. Для этого найдем выражение, связывающее оценки (5) и (6). Преобразуем квадрат суммы:

так как слагаемые сходятся по вероятности:

Во-вторых, выражение (7) позволяет найти математическое ожидание оценки

2 и убедиться в том, что она смещена:

Таким образом, оценка S2 является смещенной оценкой дисперсии, однако:

lim M[S 2 ] 2 .

n

22

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (8) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести по-

правочный множитель n/(n – 1). Полученную несмещенную оценку обозначим 2 :

Эта оценка называется выборочной или эмпирической дисперсией, т.е. её значение вычисляется по результатам наблюдений. Но так как точечной оценкой истинного значения является среднее ȃ, которое также является случайной величиной с дисперсией σ 2a , связанной с дисперсией результатов наблюдений σ2 выражением (4), то оценка дисперсии:

Если n – велико, то A = а, a2 S , и в этом случае можно использовать соотношение (2) и записать результат измерения в виде:

.

При малом числе измерений оценка (10) будет случайной величиной, и вследствие этого доверительный интервал должен быть расширен:

t (n) a ,

где tα(n) – представляет собой параметр распределения Стьюдента:

того, чтобы площадь под кривой равнялась единице; Γ – гамма-функция.

Из (11) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n – числом наблюдений и не зависит от неизвестных значений A и a .

Поскольку f(t, n) – чётная функция от t, то вероятность попадания t в заданный интервал tα(n):

t (n)

P 2 f (t, n)dt .

0

По доверительной вероятности и числу наблюдений находят величину доверительного интервала:

23

t (n) a , откуда

a;P или a t (n) a ; .

6.Погрешность результата прямого однократного измерения.

Оценивается до выполнения прямого однократного измерения, на основе анализа априорной информации. Она извлекается из опыта проведения подобных измерений, из технической документации и т.д.

Если до проведения измерений удается установить границу не исключенного остатка систематической погрешности и среднеквадратического отклонения случайной составляющей погрешности, то оценивают их соотношение.

Если: – то пренебрегают не исключённой систематической погрешностью,

2 – пренебрегают случайной составляющей погрешности.

Впервом случае границу погрешности результата измерения устанавливают

D 2 , за исключением особо ответственных измерений (D 3 ). Во втором принимают D . Если 2 , то границу погрешности результата измерения находят по формуле D ( 2 ), где коэффициент 0,8 учитывает малую вероятность того, что систематическая и случайная составляющая погрешности одновременно имеют свои граничные значения.

Распространены прямые однократные измерения в нормальных условиях, при которых всеми погрешностями кроме инструментальной, можно пренебречь. Анализ составляющих погрешности таких измерений не проводится, а результаты измерений записываются в виде А D, где А – показания средства измерений; D – погрешность, определяемая его классом точности.

Проверка нормальности распределения

До сих пор мы считали, что случайные погрешности распределены по нормальному закону и в соответствии с этим строили методы обработки результатов. При этом сходимость результатов наблюдений можно оценить наиболее полно. Поэтому исключительно важную роль при обработке результатов наблюдений играет проверка нормальности распределения.

Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, в некотором смысле наилучшим образом согласующейся с опытными данными.

При большом числе результатов наблюдений (n 50) данная задача решается в следующем порядке.

Результаты наблюдений случайной величины а полученные в специально по-

24

ставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных, располагают в порядке возрастания а1 ≤ а2 ≤ ... ≤ аn. При этом наблюдения случайной величины а должны проводиться в практически одинаковых условиях.

По данным выполненных наблюдений вычисляют размах an – a1 и образуют

Далее подсчитывают частоты тi, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

Отношения: Pi* mni , где n – общее число наблюдений, называются частно-

стями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результатов наблюдений в i-й интервал. Распределение частностей по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений.

Если теперь разделить частность на длину интервала, то получим величины:

являющиеся оценками средней плотности в интервале hi.

Отложив вдоль оси результатов наблюдении (рис. 14) интервалы hi в порядке возрастания индекса i, на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной pi*. Полученный график называется гистограммой статистического распределения. Площадь всех прямоугольников равна единице:

После построения гистограммы надо подобрать теоретическую кривую распределения, которая, выражая все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объёмом экспериментальных данных. Принципиальный вид теоретической кривой выбирают заранее, проанализировав метод измерения или хотя бы по внешнему виду гистограммы. Тогда определение аналитического вида кривой распределения сводится к выбору таких значений его параметров, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и статистическим распределениями.

Одним из методов решения этой задачи является метод моментов. При его использовании параметрам теоретического распределения придадут такие значения, при которых несколько важнейших моментов совпадают с их статистическими

25

оценками. Так, если статистическое распределение, определяемое гистограммой, мы хотим описать кривой нормального распределения, то естественно потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со средним арифметическим и оценкой дисперсии, вычисленным по опытным данным.

Далее необходимо выяснить, объясняются ли расхождения между гистограммой и подобранным теоретическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они вызваны тем, что результаты наблюдений в действительности распределены иначе.

p*

pi*

h

hi

Рис. 14. Гистограмма статистического распределения Для ответа на этот вопрос используют методы проверки статистических ги-

потез. Идея их применения заключается в следующем. На основании гистограммы, полученной при обработке опытных данных, строится гипотеза, состоящая в том, что результаты наблюдений подчиняются распределению с плотностью f(х).

Для того, чтобы принять или опровергнуть эту гипотезу, выбирается некоторая величина и, представляющая собой меру расхождения теоретического и статистического распределений. В качестве меры расхождения можно принять сумму квадратов разностей частностей и теоретических вероятностей результатов наблюдений в каждом интервале, взятых с некоторыми коэффициентами:

uci (Pi* Pi )2 ,

i 1r

где сi – коэффициенты, называемые весами разрядов; Рi – теоретические вероятности, определяемые как: Pi xxii 1 f (x)dx , где f(x) – предполагаемая плотность рас-

пределения.

Мера расхождения u является случайной величиной и, как показал К.Пирсон, независимо от исходного распределения подчиняется 2 распределению с R степенями свободы:

26

если все частоты mi 5, число измерений стремится к бесконечности, а веса сi выбираются равными п/Рi. Число степеней свободы распределения R = r – s, где r – число разрядов гистограммы статистического распределения, а s – число независимых связей, наложенных на частности Pi*.

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то к числу этих связей относится равенство среднего арифметического и точечной оценки дисперсии соответственно математическому ожиданию и дисперсии предполагаемого нормального распределения. Кроме того, всегда требуется, чтобы сумма частностей по

По таблице можно найти значения ( *)2, установленного для заданной доверительной вероятности , того что мера расхождения является случайной.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения R2 окажется

меньше ( *)2, то гипотеза принимается. Это, конечно, не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. не противоречит опытным данным. Если же гипотеза выходит за границы R2 , то она отвергается как противоречащая опытным данным.

Описанная процедура проверки гипотезы, что данное статистическое распределение является распределением с плотностью f(х), называется критерием согласия 2.

Проверка нормальности распределения по критерию 2 сводится к следующему:

1.Данные наблюдений группируются по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитываются частоты mi. Если в некоторые интервалы попадет меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. При этом число степеней свободы R конечно уменьшается.

2.Вычисляют среднее арифметическое Аср и точечную оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдения S, которые принимают в качестве параметров теоретического нормального распределения с плотностью f(х).

3.Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений по общей формуле:

P{x1 < x ≤ x2} = F(x2) – F(x1).

27

Либо приближенно как плотности теоретического распределения в середине интервала на его длину:

4. Для каждого интервала вычисляют величину i2 (i = 1, 2,…, r) и суммируют их по всем i, в результате чего получают меру расхождения R2 .

5. Определяют число степеней свободы R = r – 3, задаваясь доверительной вероятностью , находят по таблице значения (χ*)2. Если R2 ( * )2 , то распределение результатов наблюдений считают нормальным.

Критерий согласия 2, построенный на предельном переходе при п , рекомендуется применять, если общее число наблюдений больше 40.

Если число результатов наблюдений 15 < n < 50, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению используют составной критерий.

7.Суммирование погрешностей.

1.Систематические погрешности θi, если они известны или достаточно точно

n

определены, суммируются алгебраически (с учётом собственных знаков): i .

i 1

2. Случайные погрешности (среднеквадратические отклонения) суммируются с учётом их взаимных корреляционных связей: 12 2 1 2 22 .

Так как обычно информация о мере корреляционных связей отсутствуют, то на практике рассматривают два крайних случая: и 1. При этом:

а) некоррелированные (вызванные взаимно независимыми источниками или причинами) погрешности суммируются геометрически: 12 22 .

ская оценка погрешности, обусловленная i-м источником.

б) случайные погрешности сильно или жёстко коррелированные ( 1), суммируются с учётом следующих предпосылок. Если данная причина вызывает в различных узлах прибора изменения погрешностей в одном и том же направлении, то погрешности складываются: 1 2 , если изменения противоположны, то погрешности вычитают: 1 2 .

в) суммирование систематической погрешности с случайной осуществляется с учётом корреляционных связей по тому же принципу, что и суммирование случайных погрешностей.

28

8.Порядок обработки результатов прямых измерений.

1.Проводят N наблюдений (единичных измерений) и фиксируют N результатов наблюдений одного и того же значения физической величины (N показаний прибора):

A1 , A2 , A3 ,..., AN .

2. Исключают известные систематические погрешности:

A1, A2 , A3,..., AN .

3. Находят среднее арифметическое Аср и принимают за результат измерения:

Aср 1 N Ai . N i 1

4. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдения:

5. На практике широко пользуются понятием максимальной погрешности, под которым понимают закон трёх сигм. Погрешность ±3 считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3 считаются грубыми и при обработке результатов измерений не учитываются.

Исключают грубые погрешности: |Ai – Acp| 3 . 6. Вычисляют:

a 1 n ai . n i 1

7. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результата измерения:

8. Проверяют гипотезу о Гауссовом распределении.

9. Определяют доверительный интервал и доверительную вероятность:задаются доверительной вероятностью P.

J = 2 ; = kŜ(â).

k находят из P = 2 (k).

записывают результат измерений:

â ; P.

29

II. ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

Измерение напряжений является наиболее распространённым в практике электрорадиоизмерений. В технике связи измерение напряжения имеет свою специфику:

1.Широкая область частот – от постоянных напряжений и инфранизких частот до сверхвысоких частот в несколько ГГц.

2.Большой диапазон измеряемых напряжений – от долей мкВ до сотен кВ.

3.Многообразие форм сигналов.

4.Измерения осложняются тем, что источники напряжений чаще всего маломощны. Включение измерительного прибора в цепь не должно изменять режимов работы цепи, т.е. прибор не должен потреблять мощности от цепи.

Напряжение является процессом, протекающим во времени (рис. 15). Частным случаем является измерение постоянного напряжения – рис. 15(а).

Рис. 15. Измерение напряжения различных форм сигналов Наиболее распространённой в измерительной практике является задача

оценки четырёх параметров напряжения: пикового, среднего, средневыпрямленного, среднеквадратического значений. Говоря о параметрах напряжения – это же однозначно относится и к токам.

Пиковое (амплитудное – для гармонических сигналов) значение – наиболь-

шее или наименьшее значение сигнала за время измерения T:

Uм max{U (t)}.

T

Среднее значение – это постоянная составляющая сигнала U(t) за время измерения Т. Графически это среднее значение за время Т, равное разности площадей под и над осью времени. Для гармонического сигнала это значение равно нулю.

Uср T1 T U (t)dt .

0

Средневыпрямленное значение за время измерения T – это среднее значение модуля напряжения, определяется выражением:

1 T

Uср.вып. T 0 U (t) dt .

Если нет специальных оговорок, выпрямление считают двухполупериодным.

30