Лаба 5 по ВМ
.pdfЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.
Содержание работы:
1.Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения
СЛАУ.
2.На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.
3.Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью
0.001. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.
4.Изменить /100 и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.
5.Решить СЛАУ с точностью ѐ и /100, выбрав другие начальные приближения для неизвестных системы. Сделать вывод о том, как выбор начального приближения влияет на скорость сходимости рассматриваемых методов.
6.Составить отчет о работе.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание.
1. Аналитически решить СЛАУ вида:
8x 5 y z 1; |
|
|
(1) |
x 6 y 2z 7; |
|
|
|
x y 4z 9. |
|
2.Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы (1).
3.Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы.
Решение.
1. Аналитическим решением системы являются значения:
x1; y 2; z 3.
2.Метод простых итераций. Из системы (1) видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов. Заметим, что если указанные условия не выполняются, то
128
путем элементарных преобразований систему необходимо к этому виду привести.
Разделив каждое уравнение системы (1) на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец x (x1,...,xn ) в левой части и
перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:
|
k 1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k 1 |
|
|
7 |
|
1 |
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
6 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
k 1 |
|
|
9 |
|
|
1 |
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
k |
, k 0,1,2,... |
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свобод- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
9 |
|
ных членов преобразованной системы |
x(0) , y(0) |
, z(0) |
|
, |
|
, |
|
. Процесс |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
4 |
|
(2) заканчивается при одновременном выполнении трех условий:
x k 1 x k , |
y k 1 y k , |
z k 1 z k . |
В этом случае значения x k 1 , y k 1 , z k 1 являются приближенными
значениями решения СЛАУ (1).
Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное k 1 -е приближение сразу же используется для получения k 1 -го приближения последующих координат (Рис.1).
x1k 1 |
|
xi 1k 1 |
|
x k 1 |
|
|
i |
|
xi 1k |
|
xnk |
Рис.1
Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:
|
k 1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
k |
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
7 |
|
1 |
|
|
k 1 |
|
|
1 |
|
k |
|
|
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
; |
(3) |
|||||||
|
6 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k 1 |
|
|
9 |
|
|
1 |
|
k 1 |
|
1 |
|
|
k 1 |
, k 0,1,2,... |
||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
129
Условия выхода итерационного процесса (3) и выбор начального приближения аналогичны МПИ.
3. Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.
1.Задать параметры метода: x 0 , y 0 , z 0 , 0.001, k 0 .
2.Вычислить очередное приближение по формулам (2) или (3) x k 1 , y k 1 , z k 1 .
|
3. Проверить условия: |
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x k 1 |
x k |
|
& |
|
y k 1 y k |
|
& |
|
z k 1 z k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4. Обновить начальное приближение: |
|
|
|
5. |
Распечатать |
|
приближенное |
|
|||||||||||||
|
|
x k x k 1 , y k y k 1 , z k z k 1 , k k 1. |
|
|
значение корня |
x k 1 , y k 1 , z k 1 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Останов |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение: в результате решения СЛАУ (1) методом простых итера- |
||||||||||||||||||||
ций |
с |
|
|
точностью |
0.001 |
получено |
решение |
|||||||||||||||
x 9 , y 9 , z 9 1.0001;1.9999;3.0000 , |
|
методом Зейделя с той же точно- |
||||||||||||||||||||
стью x 6 , y 6 , z 6 0.9998;1.9999;2.9999 .
4. Содержание отчета.
Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Определить аналитическое решение исходной СЛАУ.
2.Если исходная СЛАУ не является системой с преобладающими диагональными коэффициентами, то путем элементарных преобразований привести ее к этому виду.
3.Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска решения СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя.
4.Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя приве-
130
денный на рисунке 2 алгоритм методов. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:
k |
x k |
x k 1 |
|
|
x k 1 x k |
|
|
y k |
y k 1 |
|
|
y k 1 y k |
|
|
z k |
z k 1 |
|
|
z k 1 z k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Провести вычислительные эксперименты.
6.Составить отчет о проделанной работе.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
№ вари- |
Система линейных алгеб- |
№ вари- |
Система линейных ал- |
|||||||||||||
анта |
гебраических уравне- |
|||||||||||||||
анта |
раических уравнений |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ний |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x y z 4; |
|
12 |
4x y 0.5z 3.5; |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 y 0.3z 1.3; |
|||||||||||
3x 4 y 2z 11; |
|
x |
||||||||||||||
|
3x 2 y 4z 11. |
|
x y 3z 2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.2x |
|
|
y |
|
|
z 1.2; |
||||||
|
3x y z 4; |
|
|
9 |
|
9 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
2 |
2x 5 y 3z 17; |
|
2x 10 y |
|
|
|
|
z |
2; |
|||||||
|
8 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x y z 1. |
|
|
x 0.5 y 2.5z 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y z 3; |
|
|
12x 2 y 5z 5; |
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
1.6 y z |
1; |
||||||||||
2x 5 y 2z 5; |
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x y 3z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2x 8 y 3z 3. |
||||||||||||
|
5x y z 3; |
|
15 |
2.8x 1.4 y 0.53z 2.4; |
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3.8; |
||||||
6x 8 y z 1; |
|
1.5x 3.8y |
||||||||||||||
|
|
|
|
x y z 1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x 3y 10z 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12x 2 y 5z |
12; |
16 |
22x 10 y 8z 10; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
5 |
6x 10 y z 6; |
|
0.5x 5 y |
|
|
|
|
z |
5; |
|||||||
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x y 5z 1. |
|
|
3x y 6z 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11x 2 y 5z 11; |
|
|
0.5x |
|
|
|
y |
|
|
|
z 0.5; |
||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
99 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
7 y z 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5x |
|
|
|
x 4 y z 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|||
|
x y 5z 5. |
|
|
|
5x 2 y 5z |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y z 1; |
|
|
18 |
5x y 2z 4; |
|||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
4 y z 4; |
|
|
|
|
8y 0.5z 2; |
|||||||||||||||||||||
2x |
|
|
|
6x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3y 6z 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z 0.1. |
||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
0.9x 0.8y |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
0.5 y |
5 |
|
|
5; |
||||||||
|
5 |
x |
|
5 |
y z 1; |
|
|
|
5x |
|
|
z |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 |
5x 12 y z 1; |
|
|
2.8x |
141 |
y z 2.8; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.5x y 2z 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y 8z |
6. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y 1.5z 0.5; |
20 |
6.8x 2 y 2z 4; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 y z |
4; |
|||||||||||
|
|
|
|
5 y |
|
|
4.375; |
|
2x |
|||||||||||||||||||||
9 |
2x |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 1.4. |
||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2x 0.6 y |
|||||||||||||||
|
x y 3z 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y z 2; |
|
|
21 |
5.5x y 1.5z 3; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
32 |
|
|
|
6.5y 1.5z 4; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
10 |
0.8x 5 y |
|
|
z |
|
; |
|
|
1.5y 4.5z 2. |
|||||||||||||||||||||
3 |
15 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
x y z 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y 0.1z 0.1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
3x 5 y 0.5z 0.5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2x 3y 6z 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132