Книги / Каменев П.Н. Вентиляция1

Глава 3

СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АЭРОДИНАМИКЕ

В настоящее время в практике вентиляционных расчетов все

большее применение получают методы математического моделиро-

вания сложных движений воздуха: вблизи всасывающих отверстий местных отсосов, в каналах сложной формы, в объеме помещений.

Математическое моделирование основано на решении дифференци-

альных уравнений теоретической аэродинамики. В эту область вен-

тиляционной аэродинамики заметный вклад внесли В. И. Посохин,

В.К. Хрущ, Н. Н. Беляев, В.Г. Шаптала, Г.Л. Окунева, И.Л. Гуревич,

Р. Х. Ахмадеев, И. И. Конышев, К. И. Логачев и другие. В настоящей

главе приведены эти уравнения и основные методы их решения.

§10. Основные понятия аэродинамики

Аэродинамика является механикой газообразной среды, в кото-

рой имеет место беспорядочное молекулярное движение.

Д’Аламбер и Эйлер предложили считать воздух сплошной сре-

дой, непрерывно заполняющей пространство. Это допущение, назы-

ваемое постулатом о сплошности газообразной среды, позволило

изучать поведение объемов воздуха, размер которых многократно превосходит размер молекул.

Движение воздуха может быть установившимся и неустано-

вившимся. При неустановившемся движении плотность, давление,

скорость и прочие характеристики в каждой точке потока изменяют-

ся во времени. В случае установившегося движения эти характери-

стики во времени не изменяются. В вентиляции рассматриваются

преимущественно установившиеся течения.

Различают два режима течений: ламинарное и турбулентное.

На объемы воздуха действуют силы: поверхностные и объем-

ные. Поверхностные действуют только на частицы, расположенные

на поверхности некоторого объема, направлены по касательной,

°Ьъемные - на каждую частицу объема, всегда перпендикулярны

Доверхности, ограничивающей рассматриваемый объем.

Напряжением объемной силы называется сила, приходящаяся на еДиницу объема, примером тому является объемный вес.

Напряжением поверхностной силы является сила, приходящаяся на единицу поверхности. Примером такого рода напряжения являет-

ся касательное напряжение.

Траектория частицы фиксирует изменение положения части-

цы с течением времени.

Дифференциальное уравнение траектории частиц имеет вид:

(1х _ с1у _ Лг

где V*, уу, уг - проекции скорости на ось координат.

Линия тока также отражает движение потока, но отличается от траектории. Траектория фиксирует положение и вектор скорости в фиксированный момент времени только одной частицы. Линия тока

в тот же момент времени указывает направление движения многих

частиц. Ряд линий тока даст картину движения воздуха в данный

момент времени. При установившемся движении траектории частиц

и линии тока совпадают.

Элементарная струйка ограничена поверхностью, составлен-

ной из траекторий, проходящих через достаточно малый контур

(рис. 3.1). Различают элементарную и струйку конечного поперечно-

го сечения. Под элементарной струйкой понимают бесконечно-тон-

кую струйку, по поперечному сечению которой плотность и скорость

изменяются крайне незначительно и могут быть приняты постоян-

Скорость угловой деформации частицы определяется по де-

формации углов граней параллелепипеда, образованного ребрами

62

Электронная библиотека Ъббр:/ /Ъдч.кЬзби.ги

Ду и Аг. Угловая скорость вращения ребра Ау составит Ду2 /Ау, а

ребра Аг - (Ду/Дг).

Среднюю скорость угловой деформации рассматриваемой грани принято характеризовать полусуммой угловых скоростей.

1Ду2 + ДV у

2Ау А?

Скорости угловой деформации частицы в плоскости, перпенди-

кулярной одной из осей:

Электронная библиотека ЬССр:/ / Ьдч.кЬзСи.ги

Коэффициент 1/2 вводится для того, чтобы данные формулы аэ- родинамики не противоречили соответствующим формулам меха- ники твердого тела.

§11. Уравнения аэродинамики

Уравнение расхода принято записывать в двух формах:

• через осредненные по поперечному сечению потока скорости:

где р - плотность воздуха; у - осредненная скорость в поперечном сечении элементарной струйки; А - площадь поперечного сечения элементарной струйки.

• через осевую скорость: осевую уос с использованием равенства:

уср„„ = куОС ’

где к- коэффициент поля скоростей.

В этом случае:

где C = C /C>A и с1а = с1а / А .

Уравнение Бернулли. Получено при рассмотрении движения

элементарного объема воздуха в струйке под действием привнесен-

ных в нее теплоты, объемных и поверхностных сил. Известны не-

сколько форм записи уравнения Бернулли:

\ /

где X , У, X - проекции ускорения на оси координат; с1х, ф, йг - про-

екции расстояния ф на которую перемещается центр тяжести объе-

ма потока; ф - изменение давлений, приложенных перпендикуляр-

но плоскости поперечного сечения потока; р - плотность воздуха: § - ускорение силы тяжести; с11г - элементарная потеря энергии на

трение, отнесенная к единице массы воздуха.

64

Электронная библиотека Ъббр://:1 дV.кЬзби.ги

2

Вследствие различия скоростей в начале и конце каждого ребра

последние за промежуток времени <1г получают приращения, а

Приращение объема параллелепипеда за тот же промежуток време-

ни составит:

с1( АУТ ) = (Ах + АухЖ )( Ау + АууЖ )( А2 + C2 ) .

Произведя преобразования и пренебрегая бесконечно малыми

величинами высших порядков, получим:

^/(АИО = АухАуАк11 + АууАхАЫ1 + Ду.ДхДу<11.

Разделив обе части этого равенства на произведение АхАуАЫ*, в пределе получим уравнение неразрывности:

Уравнения движения применяют в виде:

1) уравнений Эйлера, не учитывающих действие сил вязкости;

2) уравнений Навье-Стокса, учитывающих их.

Уравнение движения описывает поведение элементарного объ-

ема воздуха под воздействием силы К, вызывающей ускорение а.

Аналогично предыдущему случаю, около некоторой точки А в воз-

душном потоке с давлением р и координатами х, у, и г, проекции скорости которой на оси координат составляют ух> уу и у2> строится малый объем Д1У в виде параллелепипеда из элементарных прира-

с различными давлениями на гранях

66

Электронная библиотека Ы;-Ьр://:^дV.кЬз1;и.ги

X