Bilety_Matematichesky_Analiz_Reznikov_B_S

Билет 41. Нахождение площади плоской фигуры.

1) В прямоугольных координатах.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x) (f(x) >= 0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя вертикальными прямым x=a, x=b, осью абцисс, определяется формулой S = ∫f(x)dx

2) В полярных координатах

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора AOB, ограниченная дугой кривой и двумя полярными радиусами OA и OB, выразится интегралом S = ½ ∫(ρ(φ))2dφ

3) В параметрической форме.

S = ∫ψ(t)*φ’(t)dt, где x = φ(t), y = ψ(t)

Билет 42. Нахождение объема тела вращения.

a) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением y = y(x), где y(x) - непрерывная однозначная функция на [a; b], осью Ох и прямыми x=a и x=b вычисляется по одной из формул: Vx = П∫f 2(x)dx (a; b) или

Vx = П ∫f 2(x)*x’(y)dy (c; d)

б) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением x = x(y), где x(y) - непрерывная однозначная функция на [с; d], осью Оy и прямыми y=c и y=d вычисляется по одной из формул: Vy = П∫f 2(y)dy (c; d) или Vy = П ∫x2*y’(x)dx

Билет 43. Длина дуги кривой.

a)В прямоугольных координатах.

Пусть на [a; b] y=f(x) диффер.  непрерывна. Тогда существует предел: l = ∫корень из 1+(y’)2dx б) В параметрической форме.

Пусть дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), x <= t <= β, то длина дуги кривой равна: l = ∫кор. x’2(t)+y’2(t)dt, (t1; t2) – значения параметра, соответствующие концам дуги

в) В полярной системе Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), φ (- [α; β], то длина дуги кривой

l = ∫корень из ρ2(φ)+ ρ’2(φ)dφ (α; β) – значения полярного угла в крайних точках дуги.