Bilety_Matematichesky_Analiz_Reznikov_B_S

Билет 22. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Геометрический смысл.

Точка х0 называется точкой локального минимума (максимума) ф. y=f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x)>=f(x0) (f(x)<=f(x0)). Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Теорема Ферма. Пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и диф. на (a;b) и пусть точка х0 из (a; b) – точка локального максимума функции f(x). Тогда f ’(x0) = 0.

Геометрический смысл:

В точках локального экстремума касательная к графику функции параллельна оси Ох. Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ и диф. во всех внутренних точках (a; b) и f(a)=f(b). Тогда найдётся хотя бы 1 точка из этого интервала, что f ’(x0)=0. Доказательство:

По свойству функции непрерывной на отрезке найдутся точки х1 и х2 такие, что m=f(x1)<=f(x)<=f(x2)=M для всех х из этого отрезка. Пусть обе точки попадают на концы отрезка x (- [a; b]. x1=a, x2=b  f(a)=f(b)=f(x). Тогда m=M и f(x)=m=M=const для любого х (- [a; b]. Пусть хотя бы 1 из точек x1, x2 попадает внутрь отрезка. Тогда по теореме Фирма производная в этой точке равна 0.

Теорема Коши.

Пусть y=f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Аналогично, y=g(x) также непрерывна на [a; b] и диф. на

(a; b), но g’(x) ≠ 0 для любого х. Тогда имеет место следующее утверждение: найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что

(f ‘(b) – f ‘(a))/(f(b) - f(a)) = f ‘(ξ)/g’(ξ)

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Тогда найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что f(b) – f(a) = f(ξ)(b-a)

Доказательство:

Возьмём g(x) = x. По теореме Коши найдётся ξ (- (a;b) такая, что (f(b)-f(a)) / (b-a) = f ‘(ξ) Геометрический смысл:

Билет 23. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Определение. Пусть функции f(x) и g(x) диф. в некоторой окрестности точки b. Одновременно являются б.м.

или б.б. в т. b и пусть существует lim f ‘(x)/g’(x) (xb). Тогда существует lim f(x)/g(x) (xb) = lim f ‘(x)/g’(x).

Доказательство:

Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x0; x], лежащего в окрестности точки х0. Тогда f(x)-f(x0)/g(x)-g(x0) = f ‘(c)/g’(c). Учитывая что f(x0) и g(x0) = 0 получаем формулу. И при x x0 величина х в пределе также стремится к х0.

Замечания:

1)Формула верна только справа налево

2)lim f(x)/g(x) ≠ lim (f(x)/g(x))’

3)Предел отношения функции может существовать, даже если не существует предела отношения производных

4)Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей вида 0/0, беск/беск итд.

Билет 24. Монотонность функции на промежутке. Достаточное условие монотонности. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. 1-е и 2-е достаточные условия экстремума. Исследование функции на монотонность и экстремум.

Определение. Функция монотонна на промежутке Х, если она возрастает (убывает) на всём промежутке. Достаточное условие монотонности. Пусть для всех х (- Х f ‘(x)>0 (f’(x)<0). Тогда на Х функция возрастает (убывает)

Доказательство:

x1, x2 (- X, x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа найдётся ξ (- (x1; x2) такая, что f(x2)-f(x1) = f ‘(ξ)(x2-x1). x2>x1  f(x2)>f(x1)

Локальные экстремумы. Точка х0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство: f(x)<f(x0). Максимум и минимум – точки экстремума. Функция может иметь экстремум лишь во внутр. точках. Необходимое условие экстремума. Пусть функция y=f(x) диф. на Х и имеет во внутренней точке этого промежутка локальный максимум. Тогда f ‘(x0) = 0.

Доказательство: по теореме Фирма.

1ое достаточное условие экстремума. Пусть х0 – критическая точка функции f(x) и пусть f(x) диф. в некоторой проколотой окрестности Uε точки х0. Пусть далее в этой окрестности f ‘(x) больше 0 при х<x0 и f ‘(x)<0 при х>x0. Тогда х0 – точка локального максимума.

2ое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) дважды непрерывна, диф. в некоторой окрестности стационарной т. х0, т.е. f ’(x0) = 0. Тогда если f ‘’(x0)>0, x0 – точка локального минимума, а если <0 – максимума.

Исследование функции на монотонность и экстремум.

1)Найти производную f ‘(x) и крит. точки

2)Найти знак производной на всех интервалах D(y), разбив крит. точки и соответствующие промежутки монотонности

3)Найти точки экстремума и значение ф. в этих точках

Билет 25. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: схема нахождения и пример.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [A; B] и диф. на (a; b). Тогда наиб. и наим. значения функции f(x) на [a; b] могут достигаться только в точках локального экстремума или на концах отрезка

Схема нахождения.

1)Находим крит. точки, стационарные точки.

2)Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка

3)Выбираем наиб. и наим. значения

Билет 26. Выпуклость, вогнутость функции – геометрическое и аналитическое определения. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) функции. Достаточное условие перегиба.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для всех точек этого интервала касательная лежит выше (ниже) точек кривой за исключением точки касания.

Геометрическое определение. Функция называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если на этом интервале её график является выпуклой (вогнутой) кривой.

Аналитическое определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для любых х1, х2 из этого интервала (х1<x2) выполняется неравенство: f((x1+x2)/2) > (f(x1)+f(x2))/2 (для вогнутой первое выражение с – и <)

Достаточное условие выпуклости. Пусть y=f(x) дважды непрерывна и диф. на (a; b) и f ‘’(x)>0 (f ‘’(x)<0) для любого х из этого интервала. Тогда f(x) вогнута (выпукла) на (a; b)

Перегиб. Точка х0 называется точкой перегиба функции или графика функции y=f(x), если в этой точке график меняет своё направление выпуклости.

Достаточное условие перегиба. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды непрерывна и диф. в проколотой окрестности этой точки. Пусть в т. f ‘’(x) меняет свой знак. Тогда х0 – точка перегиба f(x).

Доказательство:

Пусть f ‘’(x)<0 слева и f ‘’(x)>0 справа от т. х0. Тогда функция выпукла слева и вогнута справа от т. х0. Тогда х0 – точка перегиба по определению.

Схема исследования функции на выпуклость и перегиб.

1)Находим все точки, подозримые на перегиб, т.е. в которых f ‘’(x) = 0 или не существует

2)Находим знаки второй производной f ‘’(x) на всех интервалах, на которые область определения разбивается точками, подозримыми на перегиб

3)Находим направление выпуклости на этих интерваоах и значения функции в этих точках

Билет 27. Асимптота. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.

Асимптота. Пусть существует такая прямая, что расстояние до неё от точки М (x; f(x)) графика функции y=f(x) стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика функции

Вертикальная. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов lim f(x) (xx0-) или lim f(x) (x0+) равен бесконечности.

Горизонтальная. Пусть существует lim f(x) = b (x+∞) < ∞ (lim f(x) = b (x-∞) < ∞). Тогда прямая y=b

называется право (лево) сторонней горизонтальной асимптотой.

Наклонная. Если f(x)  ∞ при х +∞ (-∞), то может существовать наклонная асимптота.

Теорема. Если lim f(x)/x (x+∞, x-∞) = k – const<∞ и lim f(x)-kx (x+∞, x-∞) = b –const, то y=kx+b

является правосторонней асимптотой (лево-)

Билет 28. Схема исследования функции и построения ее графика.

1)Область определения

2)Чётность, периодичность. Точки пересечения с осями

3)Нахождение точек из области определения, в которых f ‘(x)=0 или не существует

4)Нахождение точек из области определения, в которых f ‘’(x)=0 или не существует

5)Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости, вогнутости. Таблица!

6)Асимптоты

7)Построение графика

Билет 29. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Достаточное условие интегрируемости. Свойства неопределенного интеграла.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F’(x)=f(x) для всех х (- X.

Неопределённый интеграл. Если Ф(x) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x), то Ф(х)=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c

Геометрический смысл.

Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда любая другая первообразная имеет вид Ф(х)=F(x)+C Доказательство:

1)Функция Ф(х)=F(x)+C также является первообразной для f(x), т.к. Ф’(x) = (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2)Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f(x). Тогда (F1(x)-F2(x))’=F1’(x)-F2’(x)=0. F1(x)-F2(x)=C

Свойства неопределённого интеграла:

1)(∫f(x)dx)’ = f(x)

Доказательство:

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)

2)d(∫f(x)dx) = f(x)dx

Доказательство:

d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)’*dx = f(x)dx

3)∫C + f(x)dx = C*∫f(x)dx

Доказательство: Продифференцируем обе части:

(∫C*f(x)dx)’ = C*f(x) (C*∫f(x)dx)’ = C*f(x)dx

4)∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

5)∫df(x) = f(x) +C

Билет 30. Таблица неопределенных интегралов.

Билет 31. Непосредственное интегрирование. Формула замены переменной. Метод интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование. Используются свойства интеграла, а также преобразование подынтегральной функции с помощью алгебраических, тригонометрических формул. Цель интегрирования: получить ответ в виде функции!

Метод замены переменной. Частным случаем этого метода является так называемое подведение под дифференциал. Из инвариантности 1го дифференциала dy=f ‘(x)dx=f ‘(U)dU следует: ∫f(x)dx=∫f(U)dU

Метод интегрирования по частям. Пусть U(x), V(x) непрерывны и диф. на Х. Тогда, на Х: ∫UdV = UV-∫VdU Доказательство:

d(U(x)*V(x)) = формула = U’(x)dx/dU(x) * V(x) + U(x) * V’(x)dx/V(x)  UdV=dUV-VdU

Выбор U и dV.

1)∫xksinaxdx итд. За U(х) берём xk, а за dV sinax, eax итд

2)∫xklnxdx, ∫xkarcsinxdx. За U(x) берём трансцендентную функцию, а за dV xk

3)∫eaxsinbxdx. За U(x) берём eax, а за dV sinx/cosx ДВАЖДЫ!

∫e2xsinxdx = (e2x(2sinx-cosx)/5)+C

Билет 32. Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Многочлен – алгебраическое выражение вида a0+a1x+a2x2…anxn

Рациональная дробь. Обозначим Pm(x) и Qn(x) многочленами степени m и n. Рациональная дробь R(x) – отношение двух этих многочленов: R(x) = Pm(x)/Qn(x). Если дробь правильная, то m<n, если неправильная, то m>=n. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть делением числителя на знаменатель уголком.

Разложение рациональной дроби на простейшие. Qn(x) = an*(x1-c1)ν1*(x2-c2)ν2*(xl-cl)νl*(x2+px+qn) νn (1)

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей 4 типов:

A/(x-a), A/(x-a)k, (Mx+N)/(x2+px+q), (Mx+N)/(x2+px+q)k

В разложении Pm(x)/Qn(x) на элементарные дроби сомножителю (x-a)k будет соответствовать сумма k дробей вида A1/(x-a) + A2/(x-a)2 + … + Ak/(x-a)k (метод неопределённых коэффициентов)

Интегрирование простейших дробей.

Интегрирование рациональных дробей. Неопределённый интеграл от нерациональной дроби существует на любом промежутке, где её знаменатель не обращается в 0 и представляется в виде суммы рациональных функций, log, arctg итд.

Схема интегрирования рациональных дробей.

1)Если дробь неправильная – выделить целую часть

2)Найти все корни знаменателя и его разложение на множители по формуле (1)

3)Разложить рациональную дробь на сумму простейших

4)Проинтегрировать каждую из простейших дробей согласно её типу, результаты просуммировать

Билет 33. Интегрирование тригонометрических выражений.

1) ∫R(sinx, cosx)dx

Подстановка tg(x/2)=t, sinx = 2t/(1+t2), cosx = (1-t2)/(1+t2), dx = 2dt/(1+t2)

2) ∫R(sinx, cosx)dx

Подстановка tgx=t, sinx = t/(корень из 1+t2), cosx = 1/(корень из 1+t2), dx = dt/(1+t2)

3)∫R(sinx)cosxdx

Подстановка sinx=t, cosxdx = dt

Подстановка cos2x = (1+cos2x)/2, sin2x = (1-cos2x)/2, sinxcosx = 1/2sin2x

n=2k+1, (cos2x)k , затем подстановка sinx = t

6)∫sinαx sinβx = ½(cos(α-β)x – cos(α+β)x; ∫cosαx cosβx = ½(cos(α-β)x + cos(α+β)x; ∫ sinαx cosβx = ½(sin (α-β)x + cos(α+β)x

Билет 34. Интегрирование иррациональых функций.

1) ∫R(x, (ax+b/cx+d)r1/s1)dx

Интеграл берётся с помощью замены ax+b/cx+d = tN, где N – наименьший общий знаменатель дробей

2)∫R(x, (корень из a2-x2)dx, a = sint

3)∫R(x, (корень из a2+x2)dx, a = tgt

4)∫R(x, (корень из x2-a2)dx, a = a/cost

5)Дифференциальный бином: xm(axn+b)pdx

1)p – целое

2)m+1 – целое, подстановка axn+b=ts, где p=r/s

3)m+1/n+p – целое, подстановка axn+b=tsxn,

6)Подстановки Эйлера R(x, (корень из ax2+bx+c)

1)Если а>0, то корень из ax2+bx+c = t+-кор. из ах

2)Если а<0, то корень из ax2+bx+c = xt+-кор. из c

3)Если ax2+bx+c имеет различные действительные корни х1 и х2, то корень из ax2+bx+c = t(x-x1)

Билет 35. Нахождение пути по скорости. Интеграл Римана. Алгебраические свойства интеграла. Свойства, связанные с отрезками интегрирования. Интегральные неравенства и оценки, 1-я теорема о среднем.

Определение пути по заданной скорости. S=Vt (равномерное прямолинейное движение). Рассмотрим движение материальной точки. ∆t – малый промежуток времени. V(t) ≈ V(t0).

∆S=S(t0+ ∆t)-S(t0). Разобьём промежуток [t0; t] на n частей: [t0; t1] итд. и обозначим

∆k = tk-tk-1. Тогда приближённый путь равен: S(t)-S(t0) = ∆S ≈ V(T1)(t1-t0) + V(T2)(t2-t1) и т.д., если max ∆k0, D и E∆S

Определение. Пусть f(x) задана на [a; b] и пусть существует конечное I такое, что для для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что |I- δ |< ε при условии, что параметр разбиения с отмеченными точками λ (P; ξ)< δ . Тогда функция называется интегрированной по Римену на [a;b], число I называют пределом инт.

Пределы интегрирования.

Свойства.

1)Пусть f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда c f(x) также интегрируемана [a; b]: ∫Cf(x)dx = C∫f(x)dx

2)Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b]. Тогда f(x)+g(x) также интегр. на [a; b]:

∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

3)∫(С1f1(x)+C2f2(x)+c3f3(x))dx = C1∫f1(x) + C2∫f2(x) + C3∫f3(x)

4)∫f(x)dx = -∫f(x)dx, пределы интегрирования меняем местами

5)∫f(x)dx (a;b) = ∫f(x)dx (a; c) + ∫f(x)dx (c; b) – аддиктивность определённого интеграла

6)∫|f(x)dx| <= ∫|f(x)|dx

7)Если f(x) <= g(x), и для всех х (- [a; b], f(x), g(x) – интегрируемы, то верно неравенство: ∫f(x)dx <= ∫g(x)dx

– интегрирование неравенств

8)Пусть функция f(x) интегрируема на [a; b] и m <= f(x) <= M, x(-[a; b]. Тогда m(b-a) <= ∫f(x)dx <= M(b-a) –

оценка интеграла

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех ξ (- [a; b] верно неравенство: f(ξ) = ∫f(x)dx / (b-a)

Билет 36. Геометрический смысл. Основные классы интегрируемых функций.

Геометрический смысл. Для простоты возьмём f(x) > 0, непр. на [a; b]. Интеграл предста вляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

y = 0, x = a, x = b, y = f(x)

Отрезок AB разобьём на n частичных отрезков (точками x1, x2 итд). В каждом отрезке берём произвольную точку ξ. Сумма всех произведений f(ξ1)*∆x1 + итд. будет равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна S. С уменьшением всех величин х, точность полученной формулы увеличивается.

Sabcd = ∫f(x)dx, если интеграл определён.

Классы интегрируемых функций .

1.Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теорема 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Билет 37. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Формула замены переменной. Пусть х = φ(t) непрерывна и диф. на T = {α; β}. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] = [x(α); x(β)]. Тогда ∫f(x)dx (a; b) = ∫f(φ(t))*φ’(t)dt (α; β)

Интегрирование по частям. Пусть U(x) и V(x) непрерывны и диф. на отрезке [a; b]. Тогда имеет место формула: ∫UdV = UV|ab - ∫VdU

Доказательство: такое же как в неопр. интеграле

Билет 38. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех х (- [a; b]

определена функция Ф(х) = ∫f(t)dt (a; x), которая называется интегралом с переменным верхним пределом. На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Теорема. Если f(x) непрерывна на [a; b], то Ф’(x) = (∫f(t)dt)’ (a; x) = f(x), для всех х (- [a; b]

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) непрерывна на [a; b], F(x) – какая либо первообразная для неё, тогда: ∫f(x)dx = F(x)|ab = F(b) – F(a)

Билет 39. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Геометрический смысл.

Определение. При введении понятия определённого интеграла предполагали следующие условия: а) отрезок интегрирования [a; b] является конечным; б) подынтегральная функция f(x) – ограничена на отрезке интегрирования. В этом случае интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным, т.е. ∫f(x)dx называется несобственным, если а=-∞ или b=+∞ (или невзаимоискл.)

Сходимость / расходимость. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a; b] (b>a). Обозначим I(b) = ∫f(x)dx, фиксируя нижний предел а. Функцию I(b) рассмотрим как интеграл с переменным верхним пределом.

1)∫f(x)dx (a; +∞) = lim ∫f(x)dx (a;b) (b+∞) – несобственный интеграл 1 рода на [a; +∞). Если предел в правой части существует и конечен, тогда несобственный интеграл сходится. В противном случае расходится.

2)∫f(x)dx (-∞; b) = lim ∫f(x)dx (a;b) (a-∞)

3)∫f(x)dx (-∞; ∞) = ∫f(x)dx (-∞; c) + ∫f(x)dx (c; +∞) = пределы

Геометрический смысл. Пусть f(x)>0. Несобственный интеграл определяет площадь под кривой в соотв. пред., в данном случае [a; + ∞)

Несобственный интеграл 2го рода. Пусть функция f(x) задана на [a; b), не ограничена при xb и для любого ε>0 найдётся ∫f(x)dx (a; b-ε). Несобственным интегралом 2го рода от функции f(x) называется lim ∫f(x)dx (a; b-ε) (ε0+) = ∫f(x)dx (a; b)

Геометрический смысл: также только площадь под графиком.

Билет 40. Свойства несобственных интегралов. Признаки сходимости. Эталонные ряды.

Свойства. 1) Если сходится несобственный интеграл ∫f(x)dx (a; ∞), то найдётся такая b>a, что несобственный интеграл будет сходится и ∫f(x)dx (a; ∞) = ∫f(x)dx (b; a) + ∫f(x)dx (b; ∞)

2)Если сходятся интегралы ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), то сходятся и интегралы ∫(αf(x)+-βg(x))dx (a; ∞), где α и β=const и <M.

Признаки сходимости.

1)Признак сравнения. Пусть даны два несобственных интеграла ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), подынтегральные функции которых удовлетворяют неравенству: 0 <= f(x) <=g(x), для всех a <= x <∞. Тогда из сходимости второго интеграла следует сходимость первого, а из расходимости первого – расходимость второго.

Доказательство:

Для всех b (- (a; +∞) интеграл ∫f(x)dx (a; b) <= ∫g(x)dx (a; b). а) Перейдём к пределу при b∞. По теореме о предельных переходах в неравенстве существует предел: lim ∫f(x)dx (a; b) (b∞). Существование этого предела эквивалентно существованию интеграла. б) Аналогично из расходимости 1го интеграла вытекает несуществование пределов ∫f(x)dx (a; b) (b∞) и ∫g(x)dx (a; b) (b∞)

2)Предельный признак сравнения (эквивалентности?). Пусть существует lim f(x)/g(x) (x+∞) = A < +∞. Тогда интегралы f(x) и g(x) сходятся или расходятся одновременно.

3)Признак Дирихле (условной сходимости). Если 1) Функции f(x) и g(x) определены в a <= x <= ∞; 2) f(x)

– интегрируема в [a; A] и F(A) – ограниченная функция; 3) g(x) не возрастает и её предел при х∞ равен

нулю, то ∫f(x)g(x)dx (a; ∞) сходится

Эталонным называется интеграл, который сходится на одном промежутке, а расходится на другом.