vostrikov

Сумма двух экспонент может только один раз изменить знак, что соответствует однократному переключению управляющего воздействия (рис. 13.9, а), либо не изменит знака совсем. В последнем случае не будет переключений управляющего воздействия (рис. 13.9, б).

13.5. МЕТОД ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ

13.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Этот метод применяется для формирования оптимального управления в виде обратной связи в случае, когда управление носит разрывный (релейный) характер.

Рассматривается общая задача синтеза оптимальной системы для объекта (13.1)

и переход из произвольных начальных состояний x(0) в заданные конечные x(T ) в соответствии с некоторым критерием оптимальности

вектор функций, определяющих в пространстве состояний некоторую поверхность, которая называется поверхностью переключения [42]

Для определения этой поверхности предварительно конечная точка «приводится» к началу координат с помощью замены переменных

x x x(T ) . (13.45)

454 Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Таким образом, метод поверхности переключения позволяет получить оптимальный закон управления в виде обратной связи. Однако при этом приходится рассматривать две совокупности начальных условий: для переменных состояния x(0) и сопряженных координат (0) , что

существенно затрудняет определение управляющего воздействия.

13.5.2.МЕТОД ОБРАТНОГО ВРЕМЕНИ

Сцелью упрощения задачи определения поверхности переключе-

в обратную сторону. Для динамической системы это означает замену времени t на –t. При этом вместо двух совокупностей начальных усло-

Постановка задачи синтеза оптимальной системы в обратном времени формулируется следующим образом. Для объекта

x f (x,u)

с ограниченным ресурсом управления необходимо определить оптимальное управление в виде обратной связи, которое обеспечивает переход из начальной точки x(0) 0 в конечную x(T ) в соответствии с

критерием оптимальности (13.4). При этом заранее известно, что оптимальное управление имеет релейный характер.

Отметим, что в этом случае необходимо перебирать только одну совокупность начальных условий (0) . Причем каждому конкретному значению i (0) соответствует оптимальная траектория перехода из заданной начальной точки x(0) 0 в некоторую конечную xi (T ) .

В соответствии с методом поверхности переключений в пространстве состояний на траекториях перехода выделяются точки, где происходит смена знака управления и объединяются в поверхность

S(x) xn F(x1) .

В обычном времени следует изменить направление движения на противоположное. В результате находится оптимальное управление в виде (13.43)

u0 U sgn S x

или в форме (13.48).

ПРИМЕР 13.5

Рассмотрим процедуру определения оптимального управления методом обратного времени для объекта

с ограничением на управление u A . Необходимо перейти из начальной

точки x 0 в конечную x T 0 с критерием оптимальности

t

J min d .

Запишем уравнения объекта в переменных состояния

x1 x2 , x2 u,

где x1 y, x2 y .

Поскольку рассматривается задача оптимального быстродействия, оптимальное управление носит релейный характер

u0 A sgn 2 .

Для определения u0 в виде функции переменных состояния используем метод поверхностей переключения. Предварительно запишем уравнения объекта в обратном времени

x1 x2 , x2 u.

ния фазовых траекторий в пространстве состояний воспользуемся методом непосредственного интегрирования и рассмотрим последовательно два значения оптимального управления.

ектории, выходящей из начала координат при положительном управлении,

В этом случае уравнение фазовой траектории, выходящей из начала координат при отрицательном управлении, принимает вид

x2 2A x1 .

Для каждой фазовой траектории (рис. 13.11) определим направление движения и оставим ту половину параболы, которая соответствует движению из начала координат. Затем объединим эти две полутраектории в одну и получим уравнение линии переключения

u = –А

x1

u = +А

Рис. 13.11. Определение линии переключений к примеру 13.5

Оптимальный закон управления следующий:

Теперь изменим направление движений на противоположное, т. е. вернемся к обычному времени (рис. 13.12).

x1

X4(0)

u = +А

Рис. 13.12. Оптимальные траектории движения из различных начальных условий

Оптимальные траектории движения системы представляют собой участки парабол (рис. 13.12). Если начальная точка не принадлежит линии переключений, то в системе может быть только одно переключение управления (точки X1(0), X2(0) и X4(0)). Переключений не будет совсем, если начальная точка находится на линии переключений (начальные условия

X3(0)).

13.6. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Субоптимальными будем называть системы, которые близки по свойствам к оптимальным с заданной точностью. Точность приближения к оптимальной системе определяется соотношением

где J – критерий, соответствующий субоптимальной системе.

Такую систему получают в результате либо аппроксимации оптимального закона управления, либо искусственного ограничения рабочей области пространства состояний.

Рассмотрим релейный оптимальный закон управления u0 U sgn S (x) .

Поверхность переключения сложной конфигурации можно аппроксимировать, например, следующим образом:

представить в виде совокупности функций

или аппроксимировать каким-либо другим способом. При этом будут получаться субоптимальные системы, с различной степенью точности близкие к оптимальным.

Обсудим особенности субоптимальных систем на примере.

ПРИМЕР 13.6

Рассмотрим оптимальную по быстродействию систему (см. пример 13.5) и аппроксимируем линию переключения прямой (рис. 13.13).

Уравнение реальной линии переключения имеет вид

Sp (x) x2 Kx1 . x2

переключениячения

Реальная линия

Реальная линия

переклю чения

переключения

Рис. 13.13. Фазовый портрет субоптимальной системы к примеру 13.6

Процессы в субоптимальной системе будут существенно зависеть от начальных условий. Так, при движении из X 1(0) изображающая точка сис-

темы попадает на реальную линию переключений Sp (x) , а затем движется вдоль нее в скользящем режиме.

Из начальных условий X 2(0) изображающая точка системы будет попадать в точку пересечения идеальной и реальной линий переключения и к началу координат будет двигаться по соответствующему участку идеальной линии переключений, т. е. по оптимальной траектории.

При движении из X 3(0) изображающая точка системы будет доходить до Sp (x) , переключаться на траекторию, соответствующую другому знаку

управления, вновь попадать на реальную линию переключений и двигаться вдоль нее в скользящем режиме.

Таким образом, в субоптимальной системе могут быть строго оптимальные процессы, только если из начальных условий изображающая точка системы по фазовой траектории попадает в точку пересечения идеальной и реальной линий переключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С появлением рассмотренных методов оптимизации переходных процессов в теории автоматического управления возник ряд инженерных методов проектирования. Особенно распространенными стали релейные системы оптимизации по быстродействию. В начале главы рассмотрен случай системы первого порядка, когда алгоритм оптимального управления практически не зависит от параметров объекта и возмущения. К сожалению, этот случай крайне редкий; в подавляющем большинстве система автоматики должна подавлять действие возмущений, и вид оптимальных процессов, а следовательно, и алгоритм управления зависят от возмущений. При этом характер изменения самих возмущений во времени неизвестен. Это обстоятельство резко снизило интерес инженеров к математическим методам оптимального управления.

Есть, однако, несколько конкретных технических ситуаций, когда возможности математической теории оптимального управления могут использоваться в полной мере. Показательным примером может служить задача автоматического управления лифтами и подъемниками. При этом параметры объекта (масса груза) меняются от процесса к процессу, а ограниченным является только значение старшей производной от положения (выходной величины). Старшей производной является ускорение кабины лифта или какая-либо его производная. В пассажирских подъемниках они должны быть ограничены условиями комфорта пассажиров, а в грузовых – условиями прочности конструкции (ограничен должен быть рывок).