vostrikov

ПРИМЕР 13.2

Определить множество равновесных состояний для объекта, поведение которого описывает система уравнений

x1 2x1 x2 u,

Запишем для него уравнения статики

2x10 x20 u 0, x10 5x20 2u 0.

Определим управляющее воздействие из первого уравнения и подставим во второе. После преобразования получим уравнение множества реализуемых равновесных состояний в виде

Графической интерпретацией этого множества в пространстве состояний является прямая, именно ей должно принадлежать конечное состояние объекта. В другую точку пространства состояний его перевести невозможно (точнее, перевести можно, но стабилизировать нельзя).

13.2.3.ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

ИУПРАВЛЕНИЕ

Любая задача оптимизации имеет практический смысл только при ограничениях на переменные состояния и ресурс управления.

Ограничения на переменные состояния дают некоторую рабочую область x в пространстве состояний (рис. 13.5, а). Наиболее часто они носят характер модуля, xi xi , i 1, n .

На управляющие воздействия также накладываются ограничения, которые в общем случае можно представить в виде некоторой рабочей области u (рис. 13.5, б). В реальных системах ограничение на ресурс управления, как правило, также носит характер ограничения по моду-

лю u j U j , j 1, m .

Рис. 13.5. Иллюстрация рабочих областей:

а –переменных состояния; б – управляющих воздействий

На этапе постановки задачи синтеза необходимо убедиться в том, что множество начальных [x(0)] и конечных [x(T)] состояний объекта находится внутри рабочей области пространства состояний x.

13.2.4. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Критерий оптимальности в обобщенной форме отражает требования к качеству переходных процессов замкнутой системы. В задаче синтеза оптимальных систем его принято представлять в виде интегрального функционала

где T – время перехода из начального состояния в конечное.

В зависимости от требований к качеству работы системы можно выделить несколько наиболее часто встречающихся критериев оптимальности.

1. Критерий быстродействия отражает требование минимизации времени переходного процесса и может быть записан в виде

u u

Этот критерий представим в форме интегрального функционала

434 Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

2. Критерий минимума затрат энергии по состоянию. В случае,

когда требуется минимизировать затраты энергии только по одной из компонент вектора состояния, критерий оптимальности имеет вид

u u 0

Если речь идет о минимизации затрат энергии по всему вектору состояния, то он принимает форму

3. Критерий минимума затрат энергии на управление. Он может быть записан аналогично (13.7) относительно одной из компонент управляющего воздействия

где Q – матрица квадратичной формы размера m m .

4. Критерий минимума полных затрат энергии. Это общий случай критерия минимума затрат энергии, объединяющий критерии (13.8) и

(13.9):

13.2.5. ФОРМА РЕЗУЛЬТАТА

При постановке задачи заранее оговаривается тип управляющего воздействия, которое необходимо определить в процессе синтеза. Например, для одноактных систем, работающих без помех и возмущений,

можно рассчитывать программное оптимальное управление u0 u0 (t) . Однако более часто применяют оптимальное управление в виде обратной связи u0 u0 (x) .

Задача синтеза оптимальной системы формулируется следующим образом. Для объекта, описанного в переменных состояния с заданными ограничениями на управление и состояние, необходимо найти такой закон управления, который обеспечивал бы переход системы из начального состояния в конечное в соответствии с определенным критерием оптимальности.

13.3. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Метод динамического программирования, предложенный в начале 1950-х годов Р. Беллманом [1, 3, 41, 44], используется для синтеза оптимальных систем управления, при выводе его основных соотношений используется принцип оптимальности.

13.3.1. ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ

Формулировка принципа оптимальности следующая: конечный участок оптимальной траектории есть также оптимальная траектория. Доказательство этого принципа можно найти в [3], здесь ограничимся лишь его пояснением.

Предположим, что существует единственная оптимальная траектория перехода из точки x(0) в точку x(T) (рис. 13.6). Промежуточная точка x(t) разбивает эту траекторию на две части. Причем ее конечный участок представляет собой оптимальную траекторию, иначе можно было бы найти новую оптимальную

траекторию перехода из точки x(t) в точку x(T) и организовать движение из начальной точки x(0) в конечную x(T) по новой оптимальной траектории. Это невозможно, так как для системы существует лишь одна оптимальная траектория перехода из одной точки в другую.

13.3.2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Будем рассматривать общий класс объектов управления, который описывается уравнением (13.1)

Полагаем, что переменные состояния xi xi , i 1, n и ресурс управ-

ления u j U j , j 1, m ограничены.

Необходимо определить управляющее воздействие, которое обеспечивало бы переход из начального состояния x(t) в конечное x(T) за время T (рис. 13.7) в соответствии с критерием оптимальности

xnxn

x(T )

x(T)

x (t+ t)

x(t t)

x(t )

(t)

x1 x1

Рис. 13.7. Иллюстрация оптимального перехода из одной точки в другую

Выберем на оптимальной траектории перехода промежуточную точку x(t+ t), расположенную достаточно близко к заданной начальной точке. Согласно принципу оптимальности конечный участок есть также оптимальная траектория, поэтому представим критерий оптимальности (13.12) в виде суммы двух критериев, соответствующих двум участкам движения:

Рассматривая второй интеграл выражения (13.14) как функцию нижнего предела, обозначим его

tt

Сучетом (13.15) соотношение (13.14) представим в виде

Поскольку рассматривается оптимальная траектория движения для объекта (13.1), подставим в (13.23) вместо x правую часть уравнения объекта и получим основное уравнение метода динамического программирования в виде

Таким образом, оптимальным будет управление, которое минимизирует выражение (13.24). Однако использовать его для вычисления

u0 нельзя, так как одно уравнение (13.24) содержит m + 1 неизвестную величину ( u0 Rm и V R1 ).

13.3.3. РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Продифференцируем (13.25) по u вдоль оптимальной траектории

Добавив уравнения (13.26) к (13.25), получим систему из m+1 уравнения с m+1 неизвестным, решая которую можно найти оптимальное управление.

Поскольку (13.25) и (13.26) представляют собой систему уравнений в частных производных, для определения из нее оптимального управления, как правило, приходится использовать приближенные численные методы. В результате найденное управление получается не оптимальным, а близким к нему.

Задача отыскания точного оптимального управления методом динамического программирования носит название задачи АКОР (анали-

тического конструирования оптимальных регуляторов). Эта задача имеет решение при наличии следующих условий [1, 3, 17].

1. Объект управления описывается линейным уравнением состоя-

ния (13.3)

Оптимальное управление, полученное методом динамического программирования, для такой постановки задачи будет иметь вид

u0 Kx .

Таким образом, оптимальным для задачи АКОР будет пропорциональный закон управления.

Запишем основное уравнение метода динамического программирова-

ния (13.25)