vostrikov

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные в этой главе способы организации систем автоматического поиска экстремума являются основными способами синтеза, которые регулярно используются в настоящее время. Здесь представлены как известные подходы (пропорциональный градиенту закон управления), так и оригинальные разработки авторов (метод локализации). Наряду с ними в литературе можно найти множество специальных приемов, которые помогают в частных ситуациях находить удовлетворительные решения.

Для организации движения к экстремуму используется информация о величине или знаке градиента, оценивать который на практике значительно сложнее, чем полную производную по времени. Мы обсудили основные подходы к решению данной задачи, включая специальный фильтр оценки частной производной.

Использование метода локализации в совокупности с этим фильтром позволяет синтезировать экстремальные системы с требуемым качеством процесса для широкого класса объектов с нелинейной динамической частью и дрейфующим экстремумом.

Общей технической трудностью для систем автоматического поиска экстремума является качество измерения показателя Y (t) и пере-

менных y(t) . Это обстоятельство прежде всего следует учитывать при выборе или проектировании системы датчиков.

ЗА Д А Ч И

12.1.Структурная схема объекта показана на рис. 12.20. Рассчитать систему поиска экстремума в предположении, что градиент можно оценить точно.

Рис. 12.20. Структурная схема объекта к задаче 12.1

Модели динамической части и экстремальной характеристики

Рассчитать градиентную систему с точной оценкой G , обеспечивающую выход на экстремум за время tn 2 c.

12.3. Поведение объекта описывают уравнения

x1 x2 ,

x2 7 x1 3x2 10u, y x1 ,

Y 0, 25 y2 .

Рассчитать автоматическую систему с учетом метода «тяжелого шарика» и точной оценки G , обеспечивающую выход на экстремум за время tn 2 c.

12.6. Структурная схема объекта представлена на рис. 12.20. Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении и точной оценкой G , обеспечивающую время выхода на экстремум tn 0,3 c. Описание динамической части и экстремальной характери-

стики имеет вид

рис. 12.20, рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении и точной оценкой G . Описание динамической части и экстремальной характеристики имеет вид

Качество процесса выхода на экстремум должно удовлетворять

12.8. Структурная схема объекта представлена на рис. 12.20. Рассчитать систему поиска экстремума в предположении, что модели

Рассчитать градиентную систему, обеспечивающую выход на экстремум за время tn 2 c. Для оценки G использовать метод конечных

разностей.

12.10. Поведение объекта описывают уравнения

Рассчитать градиентную систему, обеспечивающую выход на экстремум за время tn 2 c. Для оценки G использовать метод синхрон-

ного детектирования.

12.11. Структурная схема объекта представлена на рис. 12.20. Рассчитать систему поиска экстремума в предположении, что модели

12.12. Структурная схема объекта показана на рис. 12.20. Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении и реальной оценкой G , обеспечивающую время выхода на экстремум tn 3 c. Описание динамической части и экстремальной характери-

стики имеет вид

Yy2 .

12.13.Поведение объекта описывают уравнения

Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении и реальной оценкой G , обеспечивающую время выхода на экстремум

tn 2 c.

12.14. Поведение объекта описывают уравнения

Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении и реальной оценкой G , обеспечивающую следующее качество

Г л а в а 13

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Перед разработчиком системы управления всегда стоит задача формирования в ней наилучших в каком-либо смысле пере-

ходных процессов. Чаще всего возникает необходимость обеспечения максимального быстродействия исполнительных механизмов или минимальных затрат энергии на совершение переходных процессов. При этом, естественно, ограничены какие-то внутренние переменные объекта или оговорены дополнительные условия работы. Например, при оптимизации быстродействия системы ограничены, как правило, управляющие воздействия; при оптимизации затрат энергии ограничена длительность переходных процессов. Таким образом, искусство инженера-проектировщика состоит в максимальном удовлетворении заданных требований при известных ресурсных ограничениях.

С развитием техники и теории автоматического управления предъявляемые к системам требования становились все более жесткими, что

Р. Беллмана и принцип максимума Л.С. Понтрягина, которые и будут представлены в данной главе. Ниже рассмотрены основы этих методов и методики проектирования автоматических систем с их применением.

13.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Оптимальной называют такую систему автоматического управления, в которой полностью в каком-либо формальном смысле используются динамические возможности объекта для совершения переходных процессов при заданных ресурсных ограничениях.

428 Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Управление, обеспечивающее в системе оптимальные процессы,

называется оптимальным и обозначается далее u0 .

Покажем особенности задачи синтеза оптимальной системы на следующем примере.

ПРИМЕР 13.1

Для объекта, структурная схема которого показана на рис. 13.1, рассчитать регулятор, обеспечивающий переход из начального положения y(0) в

Рис. 13.1. Схема объекта управления к примеру 13.1

Рассмотрим переходные процессы при подаче на вход объекта различных управляющих воздействий (рис. 13.2):

1) если подать управление U kU , численно равное y , то переходные процессы в объекте завершатся за время tп (кривая 1 на рис. 13.2);

Рис. 13.2. Переходные процессы объекта управления

2) при подаче на объект максимально возможного управления U на его выходе получим процесс, соответствующий кривой 2, причем в момент времени t значение выходной переменной будет равно y ;

3) если сначала подать максимально возможное управление U , а в момент времени t сформировать u = kU , то процесс перехода в требуемое

состояние будет заканчиваться за минимально возможное для объекта время при заданном ограничении на управление.

Реализовать на практике описанный алгоритм управления можно двумя способами.

1. В виде программного закона управления

В этом случае оптимальная система будет разомкнутой и, следовательно, не позволит обеспечить требуемые свойства при действии на объект внешних возмущений.

2. В виде обратной связи

Структурная схема замкнутой системы с подобным законом управления показана на рис. 13.3.

Рис. 13.3. Структурная схема оптимальной системы к примеру 13.1

Обращаем внимание на то, что полученная релейная система обеспечит оптимизацию переходных процессов при любых параметрах объекта и даже при действии возмущений. Это тот редкий в технике случай, когда алгоритм оптимального управления инвариантен по отношению к возмущениям и нестационарности параметров объекта.

Рассмотренный пример иллюстрирует основные свойства оптимальных систем: объект работает на пределе своих возможностей

(полное использование ресурса U ), управление имеет релейный характер.

13.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

13.2.1. ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задачи синтеза оптимальных систем предполагает строгую формализацию всех этапов [1, 17, 21], начиная с описания объекта управления, которое следует представить в переменных состояния. Причем объект должен быть стационарным (параметры не могут изменяться с течением времени), т. е. в общем случае его модель имеет вид

функций, удовлетворяющих условию существования и единственности решения дифференциального уравнения.

В частном случае объект может быть описан нелинейным стационарным уравнением состояния с аддитивным управлением

где B(x) – матрица нелинейных функций.

В классе объектов с аддитивным управлением можно выделить подкласс линейных объектов, модель которых имеет вид

Здесь A и B – матрицы коэффициентов соответствующих размерностей.

13.2.2. ОПИСАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ И КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ

На этапе постановки задачи синтеза следует оговорить множество начальных условий объекта и множество конечных состояний, в которые его требуется перевести. Подобный переход удобнее рассматривать в пространстве состояний, причем в зависимости от вида области начальных и конечных состояний можно выделить четыре типа задач синтеза (рис. 13.4).