vostrikov

Метод синхронного детектирования работает устойчиво, хорошо защищен от помех и часто применяется в реальных системах поиска экстремума.

Аналогичный подход можно использовать и для оценки градиента в многоканальных системах. С этой целью к каждому значению выход-

лосовых фильтров, каждый из которых будет выделять свою составляющую выходного сигнала Y . Наличие m усредняющих фильтров позволяет получить отдельные компоненты вектора G .

12.6.5.ОЦЕНКА ГРАДИЕНТА

СПОМОЩЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ФИЛЬТРА

Оригинальный способ оценки градиента разработан на кафедре автоматики НГТУ (рис. 12.12).

Покажем, что данное устройство действительно позволяет оценивать частную производную. С этой целью для промежуточной переменной z запишем соотношение

T – постоянная времени фильтра.

Рис. 12.12. Структурная схема фильтра оценки градиента

Дифференцируя по времени соотношение (12.28), получим уравнение динамики фильтра оценки градиента относительно переменной z:

Таким образом, предложенное устройство действительно позволяет оценивать частную производную, причем точность оценки будет тем выше, чем меньше параметр T.

На практике необходимую для оценки градиента производную y

рекомендуется определять с помощью дифференцирующего фильтра (на рис. 12.12 показан пунктиром), имеющего малую постоянную времени.

12.7.ОРГАНИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ

КЭКСТРЕМУМУ

Организация движения к экстремуму в автоматической системе основана на контроле градиента и использовании его в законе управления. Такие системы называются градиентными экстремальными системами (рис. 12.13). Существующие способы их построения используют как оценку значения градиента (системы с управлением по градиенту) [32, 37], так и оценку знака компонент градиента (системы с запоминанием экстремума, отдельные типы шаговых систем).

Блок оценки градиента

Рис. 12.13. Обобщенная функциональная схема градиентной экстремальной системы

12.7.1. ГРАДИЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим организацию движения к экстремуму на примере простейшего объекта управления, который описывается следующей системой уравнений:

Сформируем пропорциональный градиенту закон управления в

Подставив (12.34) в уравнение объекта (12.33), получим уравнение замкнутой системы

которое представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение

Таким образом, в случае устойчивости замкнутой системы процессы в ней будут сходиться к точке равновесия, которая является точкой экстремума. Устойчивость движения в замкнутой системе можно обеспечить соответствующим выбором коэффициента усиления k , при этом выход на экстремум происходит автоматически. В некоторых случаях с помощью коэффициента k кроме устойчивости можно обеспечить определенную длительность переходного процесса в замкнутой системе, т. е. заданное время выхода на экстремум.

ПРИМЕР 12.1

Для объекта, математическая модель которого имеет вид y 2u,

Y y2 ,

необходимо обеспечить выход на экстремум за заданное время tn 3 с. В соответствии с (12.34) сформируем управление

u kG( y) .

Так как известна модель статической экстремальной характеристики, градиент можно определить аналитически, т. е.

Y

G 2 y , y

и организовать алгоритм управления

u2ky .

Вэтом случае получим уравнение замкнутой системы

y 4ky .

Рис. 12.14. Структурная схема системы для примера 12.1

Структурная схема системы с рассчитанным законом управления представлена на рис. 12.14.

12.7.2. МЕТОД «ТЯЖЕЛОГО ШАРИКА»

Рассмотренный в разд. 12.7.1 метод позволяет автоматически найти экстремум, в окрестности которого заданы начальные условия. Если экстремальная характеристика помимо глобального имеет также и несколько локальных экстремумов, то система может «остановиться» в любом из них.

По аналогии с тяжелым шариком, который скатывается в овраг, проскакивая локальные экстремумы, данный метод предполагает введение в систему дополнительной инерционности для придания процессам свойства «проскакивать» точки локальных экстремумов.

Будем рассматривать объект, поведение которого описывают уравнения (12.33). Чтобы обеспечить колебательные переходные процессы в системе, добавим в обратную связь апериодическое звено с постоянной времени T, которую и определим в результате синтеза

(рис. 12.15).

Блок оценки

градиента

1 G Tp 1

Рис. 12.15. Структурная схема системы с дополнительной инерционностью

Запишем операторное уравнение замкнутой системы, предполагая, что с помощью соответствующего блока градиент можно оценить точно, т. е.

где G Y y 2y, так как экстремальная характеристика описывает-

ся уравнением Y y2 . Преобразуем уравнение (12.38) :

p(Tp 1) y 2bky ,

которое затем представим в стандартной форме:

Характер движения системы к точке экстремума определяется ха-

Выбирая распределение корней из условия обеспечения требуемых показателей качества процесса выхода на экстремум ( tn* и * ), сфор-

мируем желаемое характеристическое уравнение второго порядка. Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора p этих двух уравнений (согласно методике модального метода синтеза), можно определить требуемые численные значения k и T.

12.7.3. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЩЕГО ВИДА

Обсудим теперь задачу синтеза для объектов управления произвольного порядка, которые описываются нелинейным нестационарным дифференциальным уравнением

Предполагается, что дрейф экстремума медленный, т. е. dYdt 0 . В этом случае градиент определяется соотношением

Сформируем снова пропорциональный градиенту закон управления

и исследуем поведение замкнутой системы

Обеспечить устойчивость замкнутой системы можно соответствующим выбором коэффициента усиления k . Так как система (12.44) нелинейная, то для анализа устойчивости можно использовать второй метод Ляпунова, на основе которого определяется коэффициент k . Поскольку второй метод Ляпунова дает лишь достаточное условие устойчивости, выбранная функция Ляпунова может оказаться неудачной, поэтому регулярную процедуру расчета регулятора здесь предложить нельзя.

12.7.4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ

Данный способ синтеза экстремальной системы предполагает использование в законе управления действительной и желаемой старшей производных выходной переменной динамической части системы аналогично способу управления нелинейными нестационарными объектами (см. главу 10).

Рассмотрим возможности метода применительно к объекту управления (12.42), описание которого представим в переменных состояния:

Здесь предполагаем, что функция g(x) допускает многократное диф-

ференцирование, а дрейф экстремума достаточно медленный.

Цель управления заключается в определении такого управляющего воздействия u = u( ), которое обеспечивает выполнение усло-

вия (12.10)

lim y(t) y0

t

Наряду с условием статики предъявляются требования и к динамике, т. е. к характеру переходных процессов, в виде оценок

Для формирования алгоритма управления необходимо предварительно определить производную выходных переменных динамической части объекта, которая непосредственно зависит от управления. При

В этом случае от управляющего воздействия будет явно зависеть первая производная выходных переменных динамической части объекта

поэтому требования к поведению замкнутой системы следует формировать относительно нее в виде желаемого дифференциального уравнения [8]

где – коэффициент, который выбирается из условия требуемого времени выхода на экстремум. Причем для большого класса объектов типа (12.45) желаемое дифференциальное уравнение можно конструировать в классе линейных уравнений, формируя распределение корней аналогично модальному методу синтеза.

В статике желаемое уравнение (12.48) вырождается в условие

G( y) 0 ,

что соответствует точке экстремума.

Зададим закон управления на основе метода локализации в виде

где k – коэффициент усиления регулятора.

Использование y в алгоритме управления (12.49) позволяет пода-

вать влияние динамической части объекта и действующих на него возмущений, а наличие градиента – организовать движение к точке экстремума, соответствующей точке равновесия замкнутой системы.

Подставив (12.49) в (12.47), получим уравнение динамики для выходной переменной ДЧ

Начиная с некоторых значений коэффициента k выполняется условие

Таким образом, соответствующий выбор коэффициента усиления регулятора позволяет с заданной точностью обеспечить в замкнутой системе желаемую динамику выхода на экстремум. Параметры регулятора выбираются из соотношения

В этом случае ошибка поддержания в системе желаемого уравнения не будет превышать (1…5) %. Структурная схема системы приведена на рис. 12.16.

Рис. 12.16. Расчетная схема системы со старшей производной

вуправлении

Вреальной системе для оценки полной производной по времени используется дифференцирующий фильтр, поэтому оценивать градиент удобно с помощью специального фильтра, который будем назы-

вать фильтром оценки частной производной.

Следует отметить, что использование в системе фильтров с малыми инерционностями может приводить к возникновению в ней разнотемповых процессов, для исследования свойств которых необходимо применять метод разделения движений (см. разд. 10.5).

ПРИМЕР 12.2

Рассчитать систему поиска экстремума для объекта управления, поведение которого описывают уравнения

T0 y y k0 (t)u, Y ay2 ,