Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5158 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный технический университет
Предмет:
Основы Теории Управления
Файл:

vostrikov

.pdf
Скачиваний:
182
Добавлен:
23.01.2019
Размер:
12.99 Mб
Скачать
☆

12.3. Типовые модели экстремальной характеристики объекта

401

Y

Y

y

y

Рис. 12.4. Экстремальная харак-

Рис. 12.5. Экстремальная харак-

теристика типа «модуль»

теристика типа «парабола»

В общем случае уравнение экстремальной характеристики типа «парабола» будет

Y k (t) y

y (t) 2

Y (t) ,

(12.3)

1

0

0

 

где k1(t) также отражает наклон ветвей параболы; y0(t) – горизонтальный дрейф экстремальной характеристики; Y0(t) – вертикальный дрейф экстремума.

3. Экстремальная характеристика типа «парабола n-го порядка» описывается уравнением

Yk1(t) y y0 (t) n

kn (t) y

k

2

(t)

 

y y (t)

 

n 1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

y0 (t) Y0 (t),

где ki(t) – коэффициенты, которые отражают наклон ветвей параболы,

i 1, n ; y0(t) – горизонтальный дрейф экстремальной характеристики; Y0(t) – вертикальный дрейф экстремума.

4. Матричное описание экстремальной характеристики:

Y yT D t y .

(12.4)

Зависимость элементов матрицы D(t) отражает изменение во времени параметров экстремальной характеристики.

402

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

12.4. УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА

Рассмотрим экстремальную характеристику произвольного вида

Y Y ( y), Y R1, y Rn ,

(12.5)

полагая для простоты, что отсутствует дрейф экстремума.

Как известно, необходимым условием экстремума является равенство нулю градиента, полученного для этой характеристики [37], т. е. выполнение условия

 

 

G 0 ,

(12.6)

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

где G

 

– градиент (вектор частных производных)

выходной

 

Y

 

 

ym

переменной объекта.

Для того чтобы определить тип экстремума характеристики (12.5), можно задать небольшие приращения по переменным y относительно

значения y0 в виде y0

y и исследовать полученные значения выхо-

да Y. В случае, когда справедливы соотношения

 

 

Y ( y0

y)

Y0 ( y)0 ,

(12.7)

 

Y ( y0

y)

Y0 ( y0 ),

 

 

Y0 представляет собой точку минимума.

Если значения выхода Y при небольших отклонениях от Y0 удовлетворяют условиям

Y ( y0

y)

Y0

( y0 ),

(12.8)

Y ( y0

y)

Y0 ( y0 ),

 

то Y0 соответствует точке максимума характеристики (12.5).

12.5. Постановка задачи синтеза экстремальных систем

403

12.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Цель экстремального управления состоит в обеспечении минимума или максимума заданной функции качества Y(t,y) при недостаточной априорной информации об объекте.

Задача синтеза экстремальной системы заключается в отыскании для объекта типа (12.1) такого управляющего воздействия u( ), которое позволяло бы автоматически определить положение экстремума и удерживать в нем систему. Формально это означает выполнение условия

extr Y (t, y) Y0 ,

(12.9)

y

 

где Y0 – экстремальное значение выходной характеристики. Поскольку экстремальному значению Y0 соответствует определен-

ное значение y0 , задачу синтеза можно переформулировать. Для экстремального объекта (12.1) необходимо определить управляющее воздействие u( ), которое обеспечит выполнение свойства

lim y(t) y0 .

(12.10)

t

 

Как видим, задача синтеза экстремальной системы сводится к задаче стабилизации в точке экстремума y0 , а для контроля за достижени-

ем этой точки следует использовать условия (12.6) – (12.8).

Таким образом, при синтезе экстремальных систем от алгоритма управления требуются организация движения в точку экстремума, если градиент выходной характеристики G не равен нулю, и удержание объекта в точке экстремума, если он равен нулю.

Анализ задачи синтеза экстремальных систем управления показывает, что в ней можно выделить три относительно самостоятельные подзадачи:

•задача оценки градиента;

•организация движения системы к точке экстремума в соответст-

вии с условием G 0 ;

• стабилизация системы в точке экстремума.

404

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

12.6. СПОСОБЫ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА

Задача непрерывной оценки градиента представляет собой самостоятельную и очень непростую техническую проблему. К настоящему времени разработаны различные способы оценки градиента [1, 6, 19, 32, 37, 40, 44]. Обсудим некоторые из них.

12.6.1. СПОСОБ ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрим суть данного способа на примере одноканальных объектов со статической экстремальной характеристикой

Y Y ( y,t), y R1 .

(12.11)

Определим полную производную выходной переменной по

времени

 

 

 

 

 

Y

Y

y

Y

.

(12.12)

 

 

 

y

 

t

 

Второе слагаемое в выражении (12.12) обусловлено наличием дрейфа. При медленном дрейфе экстремальной характеристики им можно пренебречь, так как Y t 0 . В этом случае из выражения (12.12) можно

определить величину градиента как отношение двух полных производных по времени:

 

Y

 

Y

 

G

 

 

 

.

(12.13)

y

y

Структурная схема устройства, реализующего оценку градиента способом деления производных, представлена на рис. 12.6.

Поскольку операция дифференцирования на практике очень критична к помехам, для оценки производных следует использовать дифференцирующие фильтры ДФ (на рис. 12.6 они показаны пунктиром).

Достоинством данного способа является простота технической реализации.

12.6. Способы оценки градиента

 

405

 

y

Y

 

ДФ

d

d

ДФ

dt

dt

 

 

 

y

Y

 

G

Рис. 12.6. Структурная схема устройства оценки градиента способом деления производных

Недостатки – сложность оценки градиента при малых значениях y (как следует из выражения (12.13)) и соответственно слабая помехо-

защищенность. Для уменьшения влияния помехи рекомендуется использовать дифференцирующие фильтры выше первого порядка (см. главу 11).

12.6.2. СПОСОБ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Данный способ оценки градиента рассмотрим также для одноканальных объектов со статической экстремальной характеристикой (12.11). При этом в отличие от предыдущего способа производные Y и y приближенно заменяются конечными разностями

y

dy

 

 

y y(k )

y(k 1)

,

 

dt

 

 

t

 

 

T

 

 

 

 

 

 

dY

 

 

Y Y (k) Y (k 1)

 

Y

dt

 

 

t

 

 

T

 

,

 

 

 

 

где k – дискретный момент времени; T – шаг квантования (дискретизации) по времени.

406

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

В основе способа лежит соотношение

 

 

 

 

 

G

Y

 

Y

 

Y (k)

Yk

(1)

.

(12.14)

 

y

 

y

 

y(k)

y(k

1)

 

 

 

 

 

 

Структурная схема устройства, реализующего дискретную оценку градиента, показана на рис. 12.7, на котором z–1 – звено задержки на один шаг квантования.

 

y

ЭХ

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

kKTT

 

kKTT

 

 

y(k)

z–1

 

z

–1

Y(k)

 

 

 

 

 

–

 

 

 

–

 

y(k–1)

 

Y(k–1)

 

 

y

 

Y

 

 

G

Рис. 12.7. Структурная схема устройства оценки градиента способом конечных разностей

Достоинство данного метода заключается в высокой помехозащищенности, так как фильтрующие свойства обусловлены усреднением переменных на интервале дискретизации.

12.6.3.ОЦЕНКА ЗНАКА ГРАДИЕНТА

Внекоторых случаях для организации движения к экстремуму достаточно оценивать только знак градиента, т. е. определять функцию sgn G , которую можно представить следующим образом:

sgn G

 

 

G

 

 

,

(12.15)

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.6. Способы оценки градиента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

407

или после несложных преобразований

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

Y

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

sgn

Y

 

 

sgn G

 

y

 

 

 

y

 

.

(12.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

y sgn

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предполагая, что шаг квантования Т достаточно мал, заменим в выражении (12.16) дифференциалы конечными разностями

Y Y Y (k) Y (k 1),

y

y y k

y(k 1).

Это позволяет представить соотношение (12.16) в виде

sgn G

sgn

Y

sgn Y sgn y ,

(12.17)

 

 

sgn

y

 

 

 

которое и используется для оценки знака градиента как аппаратным, так и программным способом.

12.6.4. СПОСОБ СИНХРОННОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ

В основе этого способа лежит идея синхронного детектора, который используется в радиотехнике для выделения на фоне основного сигнала дополнительной составляющей [22].

Способ синхронного детектирования (рис. 12.8) предполагает добавление к основному сигналу на входе экстремальной характеристики y дополнительного поискового синусоидального сигнала малой амплитуды и высокой частоты y Asin t с последующим выделением со-

ответствующей составляющей из выходного сигнала Y.

На рис. 12.8 ГСК – генератор синусоидальных колебаний; ФЧУ – фазочувствительное устройство; Ф – усредняющий фильтр.

Сравнение фаз входного и выходного периодических сигналов позволяет сделать вывод о том, движется ли система к экстремуму или удаляется от него, т. е. получить оценку знака градиента. Введение в систему специального усредняющего фильтра дает возможность оценить и его значения.

408

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

 

 

y

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Asin( t)

ФЧУ

ГСК

Ф

z G

Рис. 12.8 Схема оценки градиента способом синхронного детектирования

Работу способа синхронного детектирования иллюстрирует рис. 12.9. Наличие колебаний на входе приводит к появлению колебаний такой же частоты на выходе, причем при прохождении экстремума коле-

бания на выходе изменяют фазу на 180º.

Y

 

Y

 

Y

 

Y00

 

t t

tt

y

y

y00

y

t

t

Рис. 12.9. Диаграмма, иллюстрирующая изменение фазы периодического поискового сигнала при переходе через экстремум

12.6. Способы оценки градиента

409

Для сравнения сигналов со входа и выхода экстремального объекта используется специальное фазочувствительное устройство. Если входной и выходной сигналы имеют одну и ту же фазу, то на его выходе появляется положительный сигнал, в противном случае – отрицательный. Этот сигнал, пройдя через специальный усредняющий фильтр, будет пропорционален частной производной G.

В качестве ФЧУ может быть использован блок умножения, имеющий два входа (рисyy. 12.10).

y

а YY а YY

y

tt

 

 

t

t

 

t

 

 

Входной и выходной поисковый сигналы в фазе

t

t

а

Входной и выходной поисковыйа сигналы в фазе

t

t t

б

yy

t

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

t

б

 

 

 

Y

t

t

t

 

 

Y

t

 

t t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

б

 

 

 

Рис. 12.10. Графики, иллюстрирующие работу ФЧУ на базе блока умножения:

а– входной и выходной поисковый сигналы в фазе;

б– в противофазе

Покажем теперь аналитически, что способ синхронного детектирования позволяет получить оценку частной производной.

При малой амплитуде поискового сигнала можно считать, что статическая экстремальная характеристика в малой окрестности рабочей точки y*

линейна (рис. 12.11), поэтому заменим ее касательной. В этом случае уравнение статической экстремальной характеристики принимает вид

YY

yY**

y**

y

Рис. 12.11. Линеаризация статической экстремальной характеристики в рабочей точке

410

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

 

Y Y k( y y ) ,

(12.18)

где k – тангенс угла наклона касательной, который определяется соотношением

k

Y

.

(12.19)

 

 

y

 

Таким образом, k = G. В дальнейшем используем это обозначение. Сигнал на входе экстремального объекта представляет собой сумму

y y Asin t .

(12.20)

Для простоты будем полагать, что y = 0 (преобразования не изме-

нятся и в общем случае, но станут более громоздкими). Выражение

(12.18) с учетом (12.19) и (12.20) принимает вид

Y Y

GA sin t .

(12.21)

Запишем теперь выражение для сигнала на выходе ФЧУ:

 

 

YA sin t

(12.22)

или с учетом (12.21)

 

 

Y A sin

t GA2 sin2 t .

(12.23)

Так как усредняющий фильтр усредняет сигналы на периоде, то на его выходе получим

2

 

2

 

z

t d t

Y Asin t GA2 sin2 t d t .

(12.24)

0

 

0

 

Представив в (12.24) интеграл суммы в виде суммы интегралов, запишем

2

2

 

z Y A sin td t GA2

sin2 td t .

(12.25)

0

0

 

Первый интеграл в выражении (12.25) на периоде будет равен нулю, а во втором sin2 t выразим через косинус двойного угла:

Соседние файлы в предмете Основы Теории Управления
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности