vostrikov

Г л а в а 11

СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Вэтой главе мы обсудим центральную для теории управления задачу – синтез автоматических систем, которая становится

исключительно сложной в случае нелинейных объектов. Несмотря на большое число работ, посвященных данной проблеме, общих алгоритмов синтеза практически нет. Как правило, предлагаются частные способы коррекции динамики нелинейных систем.

Тем не менее можно выделить три регулярных подхода, на основе которых могут быть разработаны процедуры расчета регуляторов. К ним относятся: метод больших коэффициентов [8, 10, 42], скользящих режимов [42] и метод локализации [8]. Первые два предполагают организацию двухэтапных процессов, когда на первом этапе возникают быстрые движения, а на втором – медленные рабочие, которым различными способами придают желаемые свойства. При определенных условиях процессы в системах на втором этапе будут инвариантны по отношению к нелинейным характеристикам и внешним возмущениям.

В этой главе мы рассмотрим метод локализации, который содержит ясную и регулярную процедуру расчета для широкого класса нелинейных объектов. Основной предварительной работой, которую необходимо проводить перед синтезом, является формализация технической задачи создания регулятора. При этом исследуются свойства объекта управления, оговариваются условия работы системы и технологические требования к ее поведению.

11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ

ОДНОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Как и в случае линейных систем, синтез предполагает добавление в систему (рис. 11.1) регулятора с целью обеспечения в ней требуемых динамических и статических свойств.

Рис. 11.1. Функциональная схема системы управления:

O – объект управления; P – регулятор

Здесь будем рассматривать одноканальные объекты, математическая модель которых имеет вид

где f0 ( ) f1( ), f2 ( ), , fn ( ) T и B0 ( ) b1( ), b2 ( ), , bn ( ) T –

вектор-функции; f0 ( ) удовлетворяет условиям существования и единственности решений дифференциального уравнения; функция g(x) допускает многократное дифференцирование.

Явная зависимость функций f0 ( ) и B0 ( ) от t отражает действие

возмущений, которые могут быть порождены как нестационарностью характеристик самого объекта, так и действием сигнальных возмущений. Будем предполагать, что темп их изменения существенно меньше скорости основных процессов в объекте, причем известен только диа-

пазон изменения функций (например, в виде fi ( ) fimax , bi ( ) bimax ,

i 1, n ).

Цель управления состоит в определении такого управляющего воздействия u u( ) , которое обеспечивает выполнение свойства

Наряду с условием статики (11.2) предъявляются требования и к характеру переходных процессов в виде оценок

tn tn* , * . (11.3)

На основе требований (11.2) и (11.3) формируется желаемое дифференциальное уравнение для замкнутой системы относительно пере-

Здесь v R1 – входное(задающее) воздействие на систему.

Для объектов (11.1) желаемое уравнение можно, как правило, сконструировать в виде линейного дифференциального уравнения. Предлагается следующая процедура его формирования. Сначала выбирается распределение корней, соответствующее требованиям (11.3), а затем записывается желаемое характеристическое уравнение аналогично модальному методу синтеза (см. разд. 6.5). Поскольку p ddt есть опе-

ратор дифференцирования, нетрудно получить линейное однородное дифференциальное уравнение. С учетом требования (11.2) записывается желаемое уравнение в виде (11.5). При необходимости от него можно перейти также к описанию в форме (11.4). В примере 11.1 приведена такая процедура.

ПРИМЕР 11.1

Сформировать желаемое дифференциальное уравнение второго порядка таким образом, чтобы соответствующие ему процессы удовлетворяли

Выберем распределение корней, обеспечивающее заданное качество процессов, аналогично тому, как это сделано в разд. 6.5. Поскольку в системе не допускается перерегулирование, они должны быть вещественными

ким образом, выбираем следующие возможные корни:

11, 5, 2 2

иформируем желаемое характеристическое уравнение**

C( p) ( p 1* )( p *2 ) p2 3, 5 p 3 0.

От него перейдем к желаемому однородному дифференциальному

т. е. получим окончательно неоднородное желаемое дифференциальное уравнение, которое имеет форму (11.5).

11.2. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Поставив задачу синтеза, необходимо убедиться в том, что она будет иметь решение. С этой целью предварительно следует проанализировать возможности объекта управления и требования, предъявляемые к качеству работы системы.

11.2.1. РЕАЛИЗУЕМОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Реализуемым будем называть такое состояние равновесия, в ко-

тором можно удержать систему с помощью конечного управляющего воздействия.

Рассмотрим, какие состояния равновесия будут реализуемыми для объекта (11.1). Для этого исходное уравнение представим в форме

ПРИМЕР 11.2

Определить множество реализуемых равновесных состояний для объекта, математическая модель которого имеет вид

x1 x1 x2 u, x2 2x1 x2 3u.

Запишем уравнения статики

x10 x20 u 0,

2x10 x20 3u 0.

Определим управляющее воздействие из первого уравнения

u x1 x2

и подставим во второе. После преобразования получим уравнение множества реализуемых равновесных состояний в виде

Как видим, графической интерпретацией этого множества в пространстве состояний является прямая. Стабилизировать объект управления в других состояниях нельзя.

11.2.2. РЕАЛИЗУЕМЫЕ ЖЕЛАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ

Реализуемыми будем называть такие желаемые дифференциаль-

ные уравнения, которым можно подчинить поведение замкнутой системы с помощью конечных управляющих воздействий.

Так как желаемые уравнения могут быть сформированы в соответствии с требованиями к качеству процессов относительно различных переменных, то для каждой из этих ситуаций получим условия реализуемости.

1. Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе требуется обеспечить желаемые свойства по переменным состояния. Представим уравнения объекта (11.1) в форме (11.6):

378 Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ПРИМЕР 11.3

Проверить, являются ли реализуемыми желаемые уравнения

для объекта со следующей математической моделью:

x1 5x1 x2 2u, x2 2x1 3x2 u.

Приравняем правые части желаемого уравнения и объекта для переменной x2 :

x1 4x2 v 2x1 3x2 u

и определим управление

u x1 x2 v .

Приравняв правые части желаемого уравнения и объекта для переменной x1 , с учетом найденного управления получим

2x1 x2 v 3x1 x2 v .

Следовательно, желаемые уравнения являются нереализуемыми для заданного объекта.

Реализуемыми для него будут, например, следующие уравнения:

2. Обсудим теперь условия реализуемости для ситуации, когда желаемое уравнение задано относительно выходных переменных в виде

(11.5).

В этом случае будем последовательно n раз дифференцировать y и перейдем от описания объекта в переменных состояния (11.1) к уравнению

где для функций f ( ) и b( ) известен только диапазон их изменения:

f ( ) fmax , b( ) bmax .

Приравняем правые части уравнений (11.5) и (11.14)

F ( ) f ( ) b( )u

и при условии

определим управляющее воздействие

Как и в предыдущем случае, уравнение (11.16) является предельным и обеспечивает точное решение задачи синтеза, но не может быть реализовано на практике из-за неизвестных функций f ( ) и b( ) .

Отметим, что условие (11.15) есть условие реализуемости желаемого дифференциального уравнения (11.5).

11.3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

Метод локализации как метод синтеза нелинейных нестационарных систем разрабатывается научной школой при кафедре автоматики Новосибирского государственного технического университета около 35 лет. Его основная идея заключается в использовании (в обратной связи) вектора скорости изменения переменных состояния x в случае описания объекта (11.1) или старшей производной выходной переменной для объектов (11.14). Таким образом, предлагается [8] формировать алгоритм управления в виде функции

Использование в нем вектора скорости (старшей производной) позволяет иметь косвенную оценку правой части дифференциального уравнения объекта, т. е. получать текущую информацию о нелинейных характеристиках и внешних возмущениях.

Достаточно простым законом управления типа (11.17) является следующий:

где K – матрица коэффициентов усиления регулятора.

Предварительно на примере систем первого порядка обсудим возможности алгоритма управления (11.18), а затем рассмотрим процедуру синтеза для одноканальных объектов произвольного порядка.

11.3.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Математическая модель объекта первого порядка имеет вид

Эталонное уравнение для выходной величины формируется на основе требований (11.2) и (11.3):

Зададим закон управления

и, подставляя (11.21) в (11.19), запишем уравнение замкнутой системы

которое разрешим относительно y :

Будем увеличивать коэффициент усиления и в пределе при k вместо (11.22) получим

y F ( y, v) .

Таким образом, соответствующий выбор параметров регулятора позволяет обеспечить в замкнутой системе требуемые свойства (11.20) с точностью