vostrikov

10.2.8.КОРРЕКЦИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Внекоторых случаях автоколебательный режим является желаемым режимом работы нелинейной системы, поэтому он должен иметь определенные амплитуду и частоту. Если параметры автоколебаний отличаются от требуемых, то возникает необходимость в их коррекции.

Сэтой целью можно воспользоваться следующими рекомендациями. 1. Если можно изменить значения коэффициентов линейной части,

следует попытаться подобрать их с учетом заданных параметров автоколебаний. Выбор коэффициентов линейной части осуществляется так, как описано в подразд. 10.2.5.

2.Если параметры линейной части нельзя изменить, то необходимо

еескорректировать. В этом случае на входе линейной части устанавливают дополнительное звено (корректор), которое рассчитывают любым известным в линейной теории методом синтеза.

3.При невозможности изменить линейную часть системы можно попытаться скорректировать нелинейный элемент.

10.2.9. УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Точность метода гармонического баланса зависит от точности замены нелинейного элемента эквивалентным линейным звеном, полученным в результате гармонической линеаризации. Отсюда следуют условия применимости метода гармонического баланса.

1.Линейная часть системы должна быть низкочастотным фильтром, т. е. отфильтровывать возникающие на выходе нелинейного элемента все гармонические составляющие сигнала, кроме первой.

Для большинства систем, у которых степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, это условие выполняется.

Кроме требования фильтрации, предъявляемого к линейной части, отметим случаи, когда в системе не будут возникать автоколебания.

2.При наличии однозначной статической нелинейной характеристики и передаточной функции линейной части, у которой в числителе

находится только коэффициент усиления (т. е. Wл ( p) k A( p) ), авто-

колебания в системе могут возникать только тогда, когда степень характеристического полинома n 3 .

3. В случае неоднозначной статической нелинейной характеристики и Wл ( p) k A( p) в системе может возникнуть автоколебательный режим, если n 2 .

10.3. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Этот метод обосновывает возможность пренебрежения малыми параметрами, которые присутствуют в математической модели и обычно не учитываются при проектировании реальной системы управления. Следует заметить, что подобное пренебрежение допустимо, если при этом не изменяются качественные свойства системы, а количественно они изменяются несущественно.

Рассмотрим суть метода малого параметра для системы, поведение которой описывают уравнения состояния [8]

Здесь f (x) и (x) – непрерывные дифференцируемые функции с ог-

Наряду с исходной системой будем рассматривать вырожденную,

На вопрос о том, насколько процессы в системе (10.28) близки к процессам (10.29), отвечает следующее утверждение.

Теорема. Если вырожденная система (10.29) экспоненциально устойчива, то существует такое достаточно малое значение , при ко-

тором исходная система (10.26) также экспоненциально устойчива.

Для доказательства используем второй метод Ляпунова. Поскольку вырожденная система экспоненциально устойчива, для нее существует такая функция Ляпунова V (x) , что ее полная производная вдоль траек-

торий движения (10.29) удовлетворяет неравенству

составляющая правой части (10.32) будет меньше по модулю, чем первая. При этом значение V (x) будет не просто меньше нуля, а меньше

некоторой квадратичной оценки. Следовательно, система (10.28) будет экспоненциально устойчива.

К сожалению, конкретное численное значение , начиная с которо-

го будет выполняться условие экспоненциальной устойчивости исходной системы, оценить довольно трудно. Применяемый с этой целью второй метод Ляпунова дает явно заниженные значения. В малой окрестности точки равновесия имеет смысл линеаризовать систему (10.28) и найти граничное значение параметра с помощью любого критерия

устойчивости.

Отметим, что теорема позволяет упростить исследование устойчивости сложных нелинейных систем, так как достаточно проверить устойчивость более простой вырожденной системы.

10.4. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ

Метод разделения движений также выражает идею малого параметра, но только по отношению к коэффициентам, определяющим инерционность отдельных элементов системы. В реальных ситуациях полное движение можно представить композицией процессов, протекающих с различными скоростями. При этом обычно пренебрегают быстрыми составляющими процесса, порожденными малыми инерционностями, что не всегда допустимо, так как может привести к ошибочным выводам относительно качественных свойств системы, в частности ее устойчивости. Метод разделения движений позволяет ответить на вопрос: «При каких условиях можно пренебречь малыми инерционностями?».

Суть метода заключается в представлении общей модели системы с малыми параметрами в виде совокупности двух подсистем, каждая из которых соответствует своему темпу процессов. В результате упрощается процедура ее анализа и синтеза: вместо сложной системы высокого порядка можно рассматривать две относительно простые подсистемы меньшего порядка.

10.4.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ

Математическая модель системы с разнотемповыми процессами представляет собой систему дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных [7, 8, 10]:

где функции f ( ) и ( ) соизмеримы по норме в рабочей области про-

странства состояний.

Обсудим некоторые свойства этой системы, фазовый портрет которой изображен на рис. 10.12.

Рис. 10.12. Пример фазового портрета системы с разнотемповыми процессами

Как видим, процессы имеют две фазы движения: из произвольных

выше, чем x . Они связаны следующим приближенным соотношением:

2. Если изображающая точка системы движется вдоль поверхности (x, y) 0 , то скорости изменения переменных будут соизмеримы. В

самом деле, поскольку в этом случае справедливо условие

t

x(t), y(t) 0 ,

полная производная функции ( ) по времени будет равна нулю, т. е.

Векторы y и x связаны конечным соотношением, что и означает их

соизмеримость.

Таким образом, при движении из произвольных начальных состояний вначале процесс развивается быстро в силу большей скорости

356 Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

изменения переменной y . При подходе к (x, y) 0 модуль вектора y уменьшается, а на поверхности y и x становятся соизмеримыми, и

вдоль нее изображающая точка движется с «нормальной» скоростью. Интуитивно понятно, что пренебречь быстрыми движениями можно

в случае, когда процессы сходятся к поверхности (x, y) 0 за сущест-

венно меньшее время, чем полная длительность процессов системы. Конкретные рекомендации на этот счет и дает метод разделения движений.

10.4.2. ВЫДЕЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДВИЖЕНИЯ

Для исследования свойств необходимо научиться выделять отдельные составляющие движения: быструю и медленную.

Получим сначала подсистему медленных движений. С этой целью будем рассматривать асимптотику системы (10.33), полагая в ней

0 ,

подсистемы медленных движений в виде дифференциального уравнения состояния n-го порядка

Для выделения подсистемы быстрых движений удобно ввести масштаб времени

1t ,

что позволяет «растянуть» процессы и исследовать быструю составляющую.

0 . При этом модель быстрых процессов в новом времени τ пред-

ставляет собой следующее дифференциальное уравнение состояния m -го порядка:

Возвращаясь к обычному времени t , получим описание подсистемы быстрых движений в виде

x const ,

(10.38)

y (x, y).

Отметим, что системы (10.35) и (10.38) независимы и описывают две составляющие общего процесса исходной системы, причем сумма порядков подсистем медленных и быстрых движений равна порядку полной системы (10.31). Степень этого разделения зависит от численного значения .

Отметим, что вместо нелинейной системы третьего порядка получили две независимые линейные подсистемы второго и первого порядков.

10.4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ

Полученные в результате рассмотренной процедуры разделения независимые подсистемы быстрых и медленных движений можно исследовать отдельно. Вывод относительно свойств исходной системы позволяют сформулировать теоремы, которые мы далее приведем без доказательства [7, 10] и в упрощенном виде.

1. Теорема 1. Если подсистема быстрых движений (10.38) экспоненциально устойчива, то для любого как угодно малого момента вре-

мени t0 0 найдется такое достаточно малое значение параметра , что траектория движения исходной системы (10.33) будет находиться к моменту времени t0 в какой угодно малой окрестности по-

верхности (x, y) 0 .

Доказательство теоремы основано на использовании второго метода Ляпунова. Поскольку подсистема быстрых движений (10.38) экспоненциально устойчива, существующая для нее функция Ляпунова используется при оценке устойчивости полной системы (10.31) [8].

Теорема 1 технически означает, что при экспоненциальной устойчивости подсистемы быстрых движений поведение исходной системы будет близко к поведению медленных движений, т. е. процессы системы (10.33) можно с достаточной точностью оценивать по (10.35).

2. Теорема 2. Если подсистемы быстрых и медленных движений порознь экспоненциально устойчивы, то существует такое достаточно малое значение , что исходная система (10.33) также экспо-

ненциально устойчива [10].

Таким образом, эти теоремы устанавливают связь между свойствами полной системы и двумя упрощенными и дают обоснование замене исследования точного решения системы с малым параметром анализом приближенного, а именно решения подсистемы медленных движений.

360 Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

ПРИМЕР 10.7

Используя метод разделения движений, определить устойчивость системы

В результате описание подсистемы медленных движений будет иметь вид x1 x1 2,5u.

Получили линейное уравнение первого порядка, которое соответствует устойчивой подсистеме.

Уравнение подсистемы быстрых движений следующее:

x1 const ,

x2 4x2 5u const.

Как видим, это линейное уравнение первого порядка, причем подсистема быстрых движений устойчива.

Согласно приведенным теоремам исходная система будет экспоненциально устойчива, а процессы в ней имеют монотонный характер в соответствии с описанием подсистемы медленных движений.

10.4.4.УСЛОВИЕ РАЗДЕЛИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ

Кнастоящему времени метод разделения движений получил широкое применение, поскольку позволяет обоснованно представить сложную нелинейную систему в виде совокупности нескольких более простых подсистем. Это существенно упрощает задачу анализа и, что гораздо важнее, синтеза.

Наличие разнотемповых процессов в физической системе обычно обусловлено использованием в ней больших коэффициентов или