Формула трапеций

Разобьем отрезок интегрирования на равных частей с шагом . На каждом частичном отрезке заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом первой степени. Таким образом, на отрезке . Тогда

Оценку погрешности можно осуществлять подобно методу прямоугольников (, где ), однако более точной является оценка по методу Рунге (метод двойного просчета) – , где – интеграл, вычисленный при шаге .

Пример 2: вычислить значение определенного интеграла по формуле трапеций с разбиением отрезка интегрирования на 4 отрезка.

Решение:

Составим таблицу значений функции. Шаг таблицы

n	1	2	3	4
x	0,5	1	1,5	2
y	0,25	1	2,25	4

По формуле трапеций:

Для оценки погрешности по формуле Рунге необходимо повторить вычисления с шагом :

n	1	2	3	4	5	6	7	8
x	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
y	0,0625	0,25	0,5625	1	1,5625	2,25	3,0625	4

Тогда погрешность интегрирования:

Формула парабол (Симпсона)

Заметим, что чем точнее проведена интерполяция функции на каждом частичном отрезке, тем точнее вычисляется интеграл. А потому от формул Ньютона–Котеса следует ожидать большей точности, если на каждом частичном отрезке использовать многочлены второй степени.

Отрезок интегрирования разобьем на равных отрезков с шагом . Формула Симпсона:

Несмотря на кажущуюся громоздкость формула Симпсона существенно точнее формул прямоугольников и трапеций и может привести к требуемому результату при меньших .