8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов и степеней.

В этом случае используются приближенные формулы.

Рассмотрим 2 случая:

1. n → ∞ p → 0

2. n → ∞ p(0;1)

Теорема Пуассона.

Если в схеме Бернулли , так, что np→a - конечное число, то

. (6.1)

Замечания:

1. – среднее число появления события А в n испытаниях.

2. Как правило, теорему Пуассона применяют, когда .

3. В конце книг по теории вероятностей имеются таблицы для подсчета вероятности по формуле (6.1) для различных и m.

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Если n, а p – конечное число из интервала (0,1), то для каждого C>0 и <C, где справедливо

где (6.2)

- плотность нормального распределения.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Если n, a p – конечное число из интервала (0,1), то , (6.3)

-функция Лапласа.

Замечания.

1. Функция Лапласа нечетная:

.

2. Функция асимптотическая и при она быстро стремиться к 0.5. Это стремление настолько быстрое, что при можно считать равным 0.5.

3. Плотность нормального распределения - четная функция, при x → ± ∞ →0

4. Функции , в конце книг по ТВ и МС заданы таблично.

9. Функция распределения вероятности и ее свойства. Одним из основных понятий ТВ является СВ. СВ бывают дискретные, непрерывные и др. Для того чтобы одинаковым способом характеризовать СВ различной природы вводится понятие функции распределения вероятностей.

Опр. Пусть - случайная величина и . Вероятность того, что примет значение, меньшее чем , называется функцией распределения вероятностей:

.Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, а функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины. Случайной называется величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений.

Счетное множество – число натуральных чисел. Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины необходимо знать ее закон распределения. Пусть – возможные значения случайной величины , - вероятности этих значений.Множество пар , i =1,2,… называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Обычно закон распределения изображается в виде таблицы:

					…
P					…

Рис. 7.1 График функции распределения

Опр. Непрерывной называется СВ(случайная величина), значения которой заполняют сплошь некоторые промежутки.

Свойства функции распределения

1. , 0, т.к. это вероятность.

2.–неубывающая функция.

Следствия 2.1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале:

2.2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной СВ равна 0

, т.к. функция распределения непрерывной СВ непрерывна.

2.3. Вероятность попадания непрерывной СВ в открытый или замкнутый промежуток одинакова:

Докажем последнее равенство 4. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.7.1).

5. .