34. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .

Пусть имеется независимая выборка (x₁, x₂,…,x_n) и пусть известно, что она взята из нормального распределения с параметрами и а.

(x₁, x₂,…,x_n) ~ N(a, )

Ставиться задача построить доверительный интервал для а при заданном .

Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл средняя

_в

Можно показать, что линейная комбинация нормально-распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение.=> имеет нормальное распределение

Вычислим вероятность заданного отклонения

Пусть известна

Воспользуемся формулой вероятности заданного отклонения для нормальной случайной величины.

=, где Ф₀- табл значение

В результате доверительный интервал будет иметь вид

Замечание.

Пусть требуется определить объем выборки, которая обеспечивает заданную надежность и точность

n=

Если n дробное, то его всегда следует округлить до ближайшего целого с избытком.

35. Доверительные интервалы для оценки матожидания нормального распределения при неизвестном .

Пусть имеется независимая выборка (x₁, x₂,…,x_n) и пусть известно, что она взята из нормального распределения с параметрами и а.

(x₁, x₂,…,x_n) ~ N(a, )

Ставиться задача построить доверительный интервал для а при заданном .

Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл средняя

_в

Можно показать, что линейная комбинация нормально-распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение.=> имеет нормальное распределение

Вычислим вероятность заданного отклонения Пусть - неизвестна

В этом случае доверительный интервал имеет аналогичный вид, только вместо необходимо вставить ее несмещенную оценку

находят на основании распределения Стьюдента (числом) из уравнения

P(x, n-1) – плотность распределения Стьюдента с числом степеней свободы (n-1).

Доверительный интервал будет иметь вид

Замечание.

Т. к. при n → ∞распределение Стьюдента быстро стремиться к нормальному, то для больших n (>100) при нахождении можно пользоваться табл ф-ции Лапласса

36. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H₀.

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H₀.

При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка 1-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается .

Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную конкурирующую гипотезу_. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается .

Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.

Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.

Значение статистического критерия при котором H₀ принимают называется областью принятия гипотезы.

Значения критерия при которых гипотезу H₀ отвергают называется критической областью.

Точка, которая отделяет эти области называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенствами

и

Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом.

1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл)

2. если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу H₀ отвергаюти принимают H₁, а если в область принятия гипотезы, то говорят, что нет основания отвергнуть H₀.