Пространство элементарных исходов.

Определение 1. Пространством элементарных исходов  («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называютэлементарными исходами и обозначают буквой  («омега»).

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате экспериментапроизошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество .

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий:  — выпало одно или два очка;  — выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где  (сответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .

Примеры событий:   — при первом подбрасывании выпало одно очко;   — при втором подбрасывании выпало одно очко;   — на костях выпало одинаковое число очков;   — на обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае  есть множество пар , где  — точка стола и  — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: , где  р  означает выпадение решки, а  г  — герба при одном подбрасывании.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

Операции над событиями

В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.

Определение 4.

1. Объединением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .

2. Пересечением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошли оба события  и  одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств  и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию  называется событие , состоящее в том, что событие  в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество  состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением  события  до  называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество  содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

Определение 5.

1. События  и  называют несовместными, если .

2. События  называют попарно несовместными, если для любых , где , события  и  несовместны.

3. Говорят, что событие  влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е.  содержится в .