23. Свойства дисперсии

Остановимся на свойствах дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю. Действительно,

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат. Действительно,

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть Здесь было использовано свойство математического ожидания: если и – независимые случайные величины, то .

4. Упрощенное правило вычисления дисперсии: дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, то есть .

Доказательство

ведь - постоянная величина.

По упрощенному правилу найдем дисперсию случайной величины, рассмотренной в примере 1:

Поэтому Мы получили ту же величину.

24-25-26. Система случайных величин. Свойства распределения двумерного случайного вектора

В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. При стрельбе группой из -выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как комплекс или система 2случайных величин: абсцисс и ординат точек попадания.

Пусть имеется упорядоченная система n случайных величин . Будем называть ее случайной векторной или -мерной случайной величиной и обозначать так:

.

Тогда -ая случайная координата вектора . Упорядоченную систему из случайных величин можно рассматривать и как случайную точку с координатами в -мерном евклидовом пространстве.

Чтобы задать случайный вектор, надо указать все те значения, которые он может принимать, и соответствующие этим значениям вероятности, т.е. вероятности, с которыми эти значения принимаются. Универсальным способом задания случайного вектора является задание его функции распределения, которая определяется равенством

.

В двумерном случае - это вероятность попадания случайной точки в область

Y

y M(x,y)

0 x X

Остановимся подробнее на двумерном случае. При этом пусть , . Свойства функции распределения случайного вектора аналогичны свойствам функции распределения случайной величины. Перечислим их:

1. ;

2. - неубывающая функция по каждой из переменных;

3. ,

4.

В первом случае мы получили функцию распределения случайной величины , а во втором – функцию распределения . Как и в одномерном случае, выделяют два наиболее важных распределения случайных векторов: дискретное и непрерывное.

Пусть распределение вектора - дискретное, и может принимать значения , а - . Тогда все возможные ситуации отражаются в таблице:

					1

Здесь – это вероятность того, что случайный вектор примет значение - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины . А - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины .

Функциия распределения вектора очевидно определяется равенством

где суммирование распространяется на все , для которых , а принимает все такие значения, для которых .

Если функция распределения случайного вектора дважды непрерывно дифференцируема, то распределение вектора назовем непрерывным. В этом случае вектор можно задать и с помощью плотности распределения, которая определяется как предел некоторой средней плотности

Итак, плотность распределения – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

Если задана плотность распределения вероятностей f(x, y) случайного вектора , то функцию распределения этого вектора находим интегрированием:

Плотность распределения обладает свойствами:

1.

2.

Вероятность того, что случайная точка попадает в областьпри известной области распределения, находится по формуле