45. Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

.

Доказательство. Рассмотрим величину .

.

Для получим

.

Подставим в это неравенство выражение через и

или

Примеры.

Определение. Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого .

46. Теорема Чебышева

Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

Доказательство.

Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину

. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

,

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем

или

Итак,

Пусть , тогда при любых .

Отсюда , что и требовалось доказать.

Следствие.

Если - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии , то ……………

()

Отсюда следует ,

Если точность всех измерений одна и та же, т.е. , i=1,2,…

47. Теорема Бернулли

S n A p

Пусть случайная величина - число наступлений события А в i-ом испытании.

	0	1

Следовательно,

через m , то

или

i	1	2	3	4	5	…	20
	5	3	5	5	6	…	5

,

48. Теорема Ляпунова

Можно доказать, что CBX₁X₂…X_n –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова

Т. Если X₁X₂…X_n –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также , тогда сумма S=X₁+X₂+…+X_n распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для

–ранее вывели. Ф-ция Лапласа.

Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:

1. 

2. 

3. 

Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a₁=a₂=…=a_n=a,

Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной