20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Пусть – непрерывная случайная величина, которая принимает значения на [a,b].Тогда плотность распределения вне [a,b] равна 0. Разобьем [a,b] на частей точками

. Тогда получим отрезки , , … , , … , . По теореме о среднем имеем

Здесь - плотность распределения , , . Рассмотрим дискретную случайную величину , которая принимает значения с вероятностями . Так как

, ,

то случайная величина определена корректно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины мы находить умеем, следовательно

.

Это интегральная сумма для непрерывной функции на [a,b]. Пусть . Тогда дискретная величина будет все менее и менее отличаться от непрерывной случайной величины , а в пределе она становится непрерывной. Поэтому естественно за математическое ожидание непрерывной величины взять предел математического ожидания , если последний существует.

Так как -непрерывная функция, то

Аналогично, если принимает значения на всей числовой прямой, то

21. Мода и медиана

Кроме важнейшей из характеристик наложения - математического ожидания - на практике иногда применяются и другие характеристики наложения, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Термин “наиболее вероятное значение”, строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Обозначается буквой .

Pi f(x)

0 xi 0 x

Часто применяется еще одна характеристика положения – медиана случайной величины. Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше . Геометрически медиана, это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

22. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание случайной величины характеризует ее в среднем, это центр ее распределения.

Дисперсия случайной величины есть характеристика распределения, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает ”рассеивание”.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Если - дискретная случайная величина, которая задается как

То

Когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то

.

Пример1. Найти дисперсию случайной величины числа выпавших очков при подбрасывании игральной кости.

Решение. Здесь X=m с вероятностью p_m=1/6, m=1,2,3,4,5,6.

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины , которая принимает значения только на промежутке [-] с плотностью .

,

Дисперсия как мера рассеивания значений случайной величины обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью случайной величины (размерность дисперсии – это квадрат размерности случайной величины).

Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью случайной величины. Это так называемое среднее квадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратичное отклонение обозначается символом: или ,