27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины

Пусть у нас имеется случайный вектор , распределение которого дается таблицей:

					1

Рассмотрим функцию распределения случайной величины при условии, что приняло значение , . Эту обозначают . Найдем вероятность того, что приняло значение , когда приняло значение :

.

Аналогично

.

В случае непрерывного распределения вектора появляются условные плотности распределения , когда , и , когда , то есть и . Можно показать, что

где – плотность распределения случайной величины , а – плотность распределения У.

Случайная величина называется независимой от случайной величины , если распределение не зависит от того, какое значение приняло . Аналогично определяется независимость от . Свойство независимости случайных величин взаимно. Если величины и независимы, то в этом случае (дискретное распределение) и (непрерывное распределение).

Пример. Для случайного вектора плотность распределения:

Найти функцию распределения случайного вектора , случайных величин и , условные плотности распределения.

Решение. Сначала определим корректность задания случайного вектора .

1. - очевидно.

2. 

Найдем функцию распределения данного случайного вектора .

Для всех других точек

при

при .

Аналогично

при и при .

Аналогично при и при .

Мы видим, что в данном примере и - независимые величины.

28-29. Функция одной случайной величины

Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая случайная величина , все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если приняла значение , будем считать, что новая случайная величина приняла значение . Эта новая случайная величина называется функцией случайной величины , и в этом случае пишут: .

Вопрос состоит в том, каков закон распределения , если мы знаем закон распределения .

Остановимся сначала на дискретной случайной величине , закон распределения вероятностей которой задается таблицей

Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью примет значение . Мы имеем таблицу распределения

Значения
вероятности

Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.

Пример. Пусть распределение случайной величины задается следующим образом:

	-2	-1	0	1	2
	0.1	0.1	0.3	0.3	0.2

Требуется найти законы распределения случайных величин и .

Решение. Возможные значения : . Отсюда принимает значения 0, 1, 4 соответственно с вероятностями 0.3; 0.1+0.3=0.4; 0.1+0.2=0.3. Таким образом, таблицей распределения будет таблица вида

	0	1	4
	0.3	0.4	0.3

Так как функция - взаимно однозначная, то различным значениям отвечают различные значения и, следовательно, таблицей распределения этой случайной величины будет таблица вида

	-8	-1	0	1	8
	0.1	0.1	0.3	0.3	0.2

Теперь остановимся на случае, когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Пусть имеется монотонно возрастающая на множестве значений случайной величины функция ( - непрерывно дифференцируемая и ). Если множество значений и и ,то функция распределения

0

. Здесь – есть плотность распределения .

Для

(- функция, обратная к на сегменте ). Отсюда

(мы воспользовались теоремой Барроу о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому верхнему пределу).

Если - монотонно убывающая функция и для всех из промежутка , то для функция распределения имеет вид

,

а плотность - , так как - функция монотонно убывающая и ее производная отрицательная.

Пример. Пусть принимает значения только на сегменте с плотностью распределения . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. – функция монотонная возрастающая, обратная к ней функция , а . Поэтому, плотность распределения будет

Пример. Даны две независимые случайные величины: – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты и – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения разности .

Решение. Запишем законы распределения данных случайных величин и .

	0	1	4

и

	1	2	3	4	5	6

Составим таблицу распределения случайной величины , полагая .

	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
				…	…					…	…			…	…	…	…
	-1	-2	-3	-4	-5	-6	0	-1	-2	-3	-4	-5	1	0	-1	-2	-3	-4

Тогда

	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1

или

	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1