19. Определение точки перегиба
Точкой
перегиба графика функции
называется
точка, в которой меняется направление
выпуклости графика (рис. 10.11).
Рис. 10.11
Очевидно,
что касательная в точке перегиба, если
она существует, пересекает график. Т:
(необходимый признак т.п.) Пусть
функция 
дважды
непрерывно дифференцируема в окрестности
т.
и
в т.
имеет
точку перегиба. Тогда
Предположим
противное, т.е. что 
для
определенности
В
силу непрерывности
знак
сохраняется всюду в окрестности т.
т.е.
по достаточному признаку выпуклости,
вогнутости график вогнутый в окрестности
т.
Полученное
противоречие с условием теоремы
доказывает, что
Условие
=
0 не является достаточным. Например, для
функции
вторая
производная
при
х = 0, но в данной точке функция имеет
min, а не перегиб (рис. 10.12). Если
то
т.(
может
являться т.п. Например, для 
вторая
производная
при х= 0, до т.(0, 0) при х > 0 график по достаточному признаку выпуклости, вогнутости является выпуклым, после т. (0, 0) при х < 0 — вогнутым, т.е. т. (0, 0) — точка перегиба (рис. 10.13).
Рис. 10.12
Рис. 10.13
Точку
в
которой
назовем
подозрительной на перегиб.
Т:
(достаточный признак т.п.) Пусть 
и
—
подозри-
тельная
на перегиб. Если при переходе через
т.
производная
меняет
знак на противоположный, то
—
точка перегиба
Пусть
для определенности
>
0 при х <
<
0
при
х >
Тогда
по достаточному признаку выпуклости,
вогнутости график вогнутый до т.
а
после нее — выпуклый, т.е. при х =
перегиб
.