17. Первый достаточный признак экстремума

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; -если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").    Доказательство. Если производная f '(x) при переходе через x = x₀ меняет знак с "+" на "-", то это означает, что при достаточно малом h производнаяf '(x) положительна в интервале (x₀ - h, x₀ ) и отрицательна в интервале (x₀ , x₀ + h). Следовательно, функция f(x) в интервале (x₀ - h, x₀ )возрастает, а в интервале (x₀ , x₀ + h) убывает, то есть в точке x₀ достигает максимума.    Аналогично доказывается утверждение данной теоремы относительно минимума функции.    Заметим, что если производная f '(x), обращаясь в нуль в точке x₀, не меняет знака, то в этой точке функция не имеет экстремума, так как с обеих сторон от точки x₀ функция f(x) будет возрастать или убывать. 

   Теорема 4. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x₀ первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x₀ функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, еслиf ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.

18. Определение выпуклости вверх(вниз)

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0  (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении xордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим  ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,  (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0.

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀  (a; b), а это значит, что кривая выпукла.