15 Определение монотонно возрастающей(убывающей) функции на интервале

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x₁ < x₂ – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x₁) = f (x₂) = 0, что противоречит условию монотонности.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что

 (1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.  Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

16. Определение точки максимума(минимума) функции

Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.   Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.  По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика.  В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины

Пусть функция  определена в некоторой окрестности , , некоторой точки  своей области определения. Точка  называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности  выполняется неравенство  ( ), и точкой локального минимума, если  .     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка  была точкой локального экстремума функции .

        Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция  имеет локальный экстремум в точке , то либо  1) , либо  2) производная  не существует.

Точка  называется критической точкой функции , если  непрерывна в этой точке и либо , либо  не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции  может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.