12 Теорема о непрерывности функции имеющей производную в точке Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–< х < ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

13 Определение дифференциала функции, его связь с приращением….

14 Теоремы ферма, ролля, лагранжа и их геометрический смысл

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c  (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с  (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX (рис. 1).

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с  (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .

(1)

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 119.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

 

f(b) − f(a) b − a    = f '(c) .

(2)

 

Число  

f(b) − f(a)

b − a

   есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (a, f(a) ) и (b, f(b) ), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке (c, f(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с  (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

Малая теорема Ферма Если p - простое число, то при любом целом a разность ap-a делится на p.

Доказательство Утверждение очевидно, если a делится на p. Если это не так, то каждое из p-1 чисел a, 2a, ..., (p-1)a дает при делении на p ненулевой остаток:

a=k₁p+r₁, 2a=k₂p+r₂, ..................., (p-1)a=k_p -1p+r_p -1.   (1)

Если число различных встречающихся здесь остатков меньше p-1, то среди них найдутся, по крайней мере, два одинаковых ("в клетке, по крайней мере, два зайца"). Но это невозможно, так как при r_n=r_m число (n-m)a=(k_n-k_m)p делится на p, что противоречиво, поскольку |n-m|<p и a взаимно просты с p. Значит, все остатки r₁ , ..., r_p-1 между собой различны и образуют перестановку чисел 1, 2, ..., p-1. Перемножая все равенства (1), получаем: 

(p-1)!a^p -1=N·p+r₁r₂·...·r_p-1=N·p+(p-1)!.

Следовательно, (p-1)!a^p -1 делится на p, так как правая часть заведомо делится на p, но тогда a^p -1-1 и a^p-a делятся на p.