8 Теорема о непрерывности суммы частного и произведения функции

9 определение производной… Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции y и составим отношение. Если существует предел этого отношения при x0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).

 

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁ ; y₁) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).    Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x₁ ; y₁) равен значению f '(x₁)производной y' = f '(x) при x = x₁/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде

y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁)

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: 

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k Т.к. x0  и f(x0)∈                         прямой   , то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) 

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 

 

10. Таблица производных элементарных функций вывод для..

Таблица производных

y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Таким образом,

11. Производные суммы, произведения, частного функций. Производная сложной функции

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/v−v/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.

Производная сложной функции

Если функции  имеют конечные производные  и , то . Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная.