
- •3 Бесконечно малые функции
- •4 Бесконечно большие функции
- •5 Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •8 Теорема о непрерывности суммы частного и произведения функции
- •10. Таблица производных элементарных функций вывод для..
- •11. Производные суммы, произведения, частного функций. Производная сложной функции
- •12 Теорема о непрерывности функции имеющей производную в точке Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.
- •13 Определение дифференциала функции, его связь с приращением….
- •14 Теоремы ферма, ролля, лагранжа и их геометрический смысл
- •Малая теорема Ферма Если p - простое число, то при любом целом a разность ap-a делится на p.
- •15 Определение монотонно возрастающей(убывающей) функции на интервале
- •16. Определение точки максимума(минимума) функции
- •17. Первый достаточный признак экстремума
- •18. Определение выпуклости вверх(вниз)
- •19. Определение точки перегиба
8 Теорема о непрерывности суммы частного и произведения функции
9 определение производной… Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции y и составим отношение. Если существует предел этого отношения при x0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок). Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1)производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде
y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется
прямая, проходящая через точку касания
перпендикулярно касательной. поэтому
ее угловой коэффициент равен ,
а уравнение записывается в виде
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:
Уравнение касательной к
графику функции: y=kx+b (k,b=const).
Из геометрического смысла
производной: f/(x0)=tgα=k
Т.к. x0 и f(x0)∈
прямой , то
уравнение касательной записывается
в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0)
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.
10. Таблица производных элементарных функций вывод для..
Таблица
производных
y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
Таким образом,
11. Производные суммы, произведения, частного функций. Производная сложной функции
Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/v−v/u .
Доказательство Из определения производной:
(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]= .
=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/
(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+
+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.
(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.
Производная сложной функции
Если
функции имеют
конечные производные
и
,
то
.
Значком внизу обозначена переменная,
по которой вычисляется производная.