Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 Понятие функции одной переменной Рассмот....docx
Скачиваний:
34
Добавлен:
25.12.2018
Размер:
390.74 Кб
Скачать

8 Теорема о непрерывности суммы частного и произведения функции

9 определение производной… Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции y и составим отношение. Если существует предел этого отношения при x0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).

 

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).    Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1)производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде

y - y1 = f '(x1)(x - x1)

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: 

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k Т.к. x0  и f(x0)∈                         прямой   , то уравнение касательной записывается в виде: yf(x0)=f/(x0)(xx0) 

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 

 

10. Таблица производных элементарных функций вывод для..

Таблица производных

y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(xx)=sin(xx), то

Таким образом,

11. Производные суммы, произведения, частного функций. Производная сложной функции

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=uv/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/vv/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(xxv(xx)]−[u(xv(x)]= =limΔx→0Δx[u(xx)−u(x)]±[v(xx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(xx)−u(x)±limΔx→0Δxv(xx)−v(x)=uv/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(xxv(xx)−u(xv(xv(xxv(x)= limΔx→0Δxu(xx)[v(xx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(xx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(xx)u(xx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(xxv(x)u(xxv(x)−u(xv(xxu(xv(x)=v2u/vv/u.

Производная сложной функции

Если функции  имеют конечные производные  и , то . Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная.