5 Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).
▼ Пусть 
Следовательно,
т.
е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция
ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е.
является б.м.ф., которую обозначим через
α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо
6 Сравнение бесконечно малых.
1. Функции (х) и (х) – бесконечно малые по базе ß когда (х) и (х)
одного порядка малости, если
lim (х)/ (х) = c0.
( Свойство иметь одинаковый порядок малости симметрично
lim (х) / (х) = 1/c0)
2. Если (х) и (х) одного порядка малости, то (х) = 0((х)) и (х)= 0((х)).
ß: х | (х)/ (х) – a | < 1
a-1 < (х)/ (х) < a+1;
c= max { |a-1| ; |a+1| } -c a-1 < (х)/ (х) < a+1 c
(х)/ (х) < c
|(х)| <c*|(х)| (х) = 0((х)). ч.т.д
Аналогично (х)= 0((х)).
3. Функция (х) – бесконечно малая первого порядка малости относительно
(х), если
lim (х)/ 
(х)
= а 0
4. Бесконечно малая функция (х) имеет более высокий порядок малости,
чем (х) по базе ß, если
lim (х)/ (х) = 0
ß
5. Функция (х) имеет более высокий порядок малости, чем (х), если
lim (х)/ 
(х)
= 0
ß : при x справедливы следующие соотношения эквивалентности :
1. ln (1+x) x; lim ln (1+x)/ x =1
x
2.
log 
(1+x) x/ ln a
; lim log
(1+x)
= log
(1+x)/ lna =
x/ lna
x
3. е
-1 х
е
-1=y
lim е
-1/x= е
=y+1 =lim y/ln (1+y)
=1
x x=ln (1+y) y
4.
a
-1 x*lna; a
-1
=е
-1
5. (1+x)ª -1 a*x
(1+x)ª
-1 = е
-1 a* ln (x+1) a*x
6. sin x x
7. tg x x; lim tg x / x = lim sin x / x*cos x =1
x x
8. arcsin x x
y=arcsin x
lim arcsin x / x = x=sin y = lim y / sin y =1
x x
9. arctg x x
10. 1- cos x x²/ 2 ; 1 – cos x = 2*sin² x 2* (x / 2)² =x²/ 2