2.1.6. Множина підмножин

Слід розуміти, що елементи множини самі можуть бути деякими множинами. Наприклад, книга з множини книг у шафі може розглядатися як множина сторінок. Потрібно звернути увагу на те, що йдеться про елементи множини, а не про підмножини (ніяка сукупність сторінок не може розглядатися як підмножина множини книг).

Множина груп факультету складається із груп, тобто елементом множини є група, як неподільне ціле, в той самий час кожна група є множиною студентів, але окремий студент не є елементом множини груп факультету.

Означення 2.7. Множину, елементами якої є всі підмножини множини , називають множиною підмножин (множиною-степенем) множини і позначають .

Приклад 2.10. Для триелементної множини маємо

У разі кінцевої множини , що складається з n елементів, множина підмножин містить елементів. Слід підкреслити відмінності між відношенням належності () і відношенням включення (). Як уже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною (), але вона не може входити до складу своїх елементів (). Навіть у разі одноелементних підмножин потрібно відрізняти множину та її єдиний елемент а (дивись приклад). Відношення включення має властивість транзитивності, відношення належності цієї властивості не має. Тобто, із того, що не витікає, що , як здається на перший погляд.

Приклад 2.11. Розглянемо такі множини , . Дійсно , але .

2.2 Алгебра множин

2.2.1. Закони алгебри множин

Операції над множинами, як і операції над логічними змінними, мають деякі властивості. Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного вмісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму . Ми вже знаємо, що множина об’єктів разом з операціями утворюють алгебру. Множина всіх множин разом з операціями об’єднання, перерізу і абсолютного доповнення утворюють алгебру, яка називається алгеброю множин. Її основні властивості або закони алгебри множин наведені нижче.