2.1.2. Порожня множина

У теорії множин використовується поняття порожньої множини. Позначається вона символом .

Множина може взагалі не містити елементів, наприклад

– непарне число, що ділиться на ;

.

Для позначення цього факту вводиться поняття порожньої множини.

Це поняття відіграє дуже важливу роль при заданні множин за допомогою опису. Так, без поняття порожньої множини не можна говорити про множину відмінників групи 1ЕК спеціальності “Економічна кібернетика” або про множину дійсних коренів квадратного рівняння, не пересвідчившись заздалегідь, чи є взагалі в студентській групі відмінники або чи має задане рівняння дійсні корені. Поняття порожньої множини дає змогу оперувати множиною відмінників групи, не піклуючись про те, чи є відмінники в групі, яка розглядається. Теж саме стосується й множини дійсних коренів квадратного рівняння. Порожню множину умовно будемо відносити до скінченних множин. Можна довести, що порожня множина єдина.

Таким чином, уведення порожньої множини дає можливість оперувати будь-якою множиною без попереднього застереження, існує вона чи ні.

2.1.3. Операції над множинами

Розглянемо дві множини А та В і введемо кілька операцій над ними. Для графічної ілюстрації будемо використовувати кола Ейлера. Для зображення множини на площині креслять замкнену лінію із заштрихованою внутрішньою областю (найчастіше – це коло, звідси й назва відповідного інструмента, що широко застосовується в теорії множин).

Зазначимо, що в подальшому викладі використовуватимемо символи вже відомих нам логічних операцій кон’юнкції «» диз’юнкції «» імплікації «», еквіваленції «» для формалізованого запису означень і теорем.

Означення 2.1. Об’єднання і () – множина, що складається з усіх елементів множини , всіх елементів множини і не містить ніяких інших елементів (рис.2.1), тобто

,

де символ «» позначає логічну операцію диз’юнкції (логічне «або»), тобто, згадуючи операцію „диз’юнкція”, елемент належить множині тоді і тільки тоді, коли або

1. істинне і хибне, або

2. істинне і хибне, або

3. істинне і істинне.

Рис.2.1

Означення 2.2. Переріз і – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать одночасно множині та множині (рис.2.2), тобто

,

де символ «» позначає логічну операцію кон’юнкції (логічне «і»), тобто згадуючи операцію „кон’юнкція”, елемент тоді і тільки тоді, коли і істинні одночасно.

Рис.2.2

Означення 2.3. Різниця і (відносне доповнення) – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині й не належать (рис.2.3), тобто

.

Тобто, елемент тоді і тільки тоді, коли істинне і хибне одночасно.

Рис.2.3

Означення 2.4. Диз’юнктивна сума і (симетрична різниця) – множина, що складається з усіх елементів , які не належать множині , й усіх елементів , які не належать множині , та яка не містить ніяких інших елементів (рис.2.4), тобто

.

Тобто, елемент тоді і тільки тоді, коли або

1. істинне і хибне одночасно, або

2. істинне і хибне одночасно.

Рис.2.4

Очевидно, що

.

Вправа 2.1.

1. Задати всіма можливими способами множини:

1. непарних чисел, які є меншими за 20;

2. всіх непарних чисел;

3. цифр вісімкової системи зчислення;

4. чисел, кратних 5;

5. чисел, кратних 7;

6. парних чисел, які є більшими за 10;

7. парних чисел, які є меншими за 100;

8. чисел, кратних 3 і 5 одночасно;

9. чисел, кратних 4 і 7 одночасно;

10. квадратів натуральних чисел;

11. квадратів парних чисел;

12. квадратів непарних чисел.