7.4. Дискретные объекты и передаточные функции.

Обычно используется для этих целей аппарат z-преобразования, в соответствии с которым любой функции ставится в соответствие некоторая дискретная (решётчатая) функция , где – период дискретности (квантования по времени). По аналогии с преобразованием Лапласа вводится преобразование:

с помощью которого можно получить дискретную передаточную функцию:

Для большинства физических объектов . В известных пособиях по импульсным системам [6,7] приводятся в качестве справки таблицы перехода от непрерывных передаточных функций к дискретным, например для типовых звеньев:

№	W(s)	G(z)	Расчет коэффициента	Примечание
1				Инерционный объект 1-ого порядка
2				Звено запаздывания
3				Последовательное соединение двух звеньев
4				Объект с неминимально-фазовой характеристикой
5				Фильтр низких частот запаздывания

Эти типовые объекты (1-5) используются для определения оптимальных настроек в алгоритмах регулирования. Обратим внимание, что при переходе к коэффициенты пересчитываются с учетом интервала дискретности , как это показано для объектов (1,2). Соответственно и получаемые оптимальные настройки зависят тоже от . Примеры подобных зависимостей см. в [5].

7.5. Моделирование дискретных систем

Пусть задан многомерный линейный объект в виде:

| системы дифференциальных равнений в форме Коши.

где А,В матрицы параметров пространства (состояний) Х(t)

- вектор управлений;

- пространство измерений.

C,D – матрицы параметров пространства измерений. (Заметим, что и переставимы по смыслу задачи).

Аналогом такого объекта является система:

и схема её моделирования.

Рис. 7.5

Объекты с запаздыванием z-d представляются цепочкой с несколькими единичными запаздываниями (здесь d=3).

В общем случае различают объекты с запаздыванием по управлению, с запаздыванием по измерению и др.

Соответствующие уравнения имеют вид:

(задержка на выходе)

(задержка по управлению)

В последнем случае структура схемы моделирования аналогична рис. 7.3, но появляется запаздывание в канале управления (обратим внимание на несколько иное выражение для ). Задержка по управлению имитирует скорость обработки информации.

Несколько более сложно вводится внутренняя задержка [5]. Ещё раз подчеркнем, что понятие пространства состояний и измерений переставимы по физическому смыслу.

Обычно используется квадратичный критерий качества, например, типа:

,

в котором учтены конечное состояние Х[N], текущие состояния Х[k] и затраты на управление с определёнными требованиями к матрицам S,Q,R, включая условия существования min I, условия устойчивости и др.

Подобные структуры дискретных объектов используются в системах управления с “наблюдателем”, однако из-за того, что этот класс моделей – линейный, требуется постоянная коррекция коэффициентов таких моделей – т.н. идентификация.

Это обстоятельство следует учесть, т.к. мы фактически переходим к адаптивным системам (см. §6.5) или их модификациям.

Ранее было указано на невозможность использования ПИД-законов управления для объектов с большим запаздыванием, системы с “наблюдателем” позволяют преодолеть это ограничение. Пример соответствующей структуры приведен в ряде работ, т.н. учредитель Смита [ 5 ].