- •II.Элементы функционального и комплексного анализа.
- •6. Формула включений и исключений.
- •Упражнения и задачи по теории множеств
- •III. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции.
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 2. Пределы
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 4. Приложения дифференциального исчисления
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 5. Функции нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •IV. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •Тема 1. Неопределенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Определенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •V. Дифференциальные уравнения.
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •VI. Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •VII. Элементы теории вероятностей. Случайные события
- •Вопросы для самопроверки:
- •Сложные события Вопросы для самопроверки:
- •Повторение испытаний Вопросы для самопроверки:
- •Тема 12. Случайные величины Вопросы для самопроверки:
Вопросы для самопроверки:
-
В чем заключается правило Лопиталя?
-
Каковы признаки возрастания и убывания функции?
-
Сформулируйте достаточные условия экстремума функции.
-
Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой ?
Тема 5. Функции нескольких переменных
Основная проблема при изучении этой темы возникает в момент дифференцирования указанных функций. Это связано с тем, что при дифференцировании функции по одной переменной все другие переменные предполагаются постоянными величинами. Например,
Задача 1. Найти частные производные функции
Решение: Найдем производную функции Z по переменной x. В этом случае, при дифференцировании величина y считается постоянной и поэтому:
Аналогично найдем производную функции по y, считая величину x постоянной:
Вопросы для самопроверки:
-
Что называется функцией двух переменных?
-
Дайте определения частных производных.
-
Как находится экстремум функции нескольких переменных?
-
В чем состоит способ наименьших квадратов построения эмпирических формул?
Задачи для самоконтроля
Задание 1. Вычисление пределов
1.а) ; б) ;
в) ; г) .
2. а) ; б) ;
в) ; г) .
3. а) ; б) ;
в) ; г) .
4. а) ; б) ;
в) ; г) .
5. а) ; б) ;
в) ; г) .
6. а) ; б) ;
в) ; г) .
7. а) ; б) ;
в) ; г) .
8. а) ; б) ;
в) ; г) .
9. а) ; б) ;
в) ; г) .
10. а) ; б) ;
в) ; г) .
Задание 2. Дифференциальное исчисление
Найти производную и дифференциал функций:
11. ; 16. ;
12. ; 17. ;
13. ; 18. ;
14. ; 19. ;
15. ; 20. .
Найти производную
21. ; 26. ;
22. ; 27. ;
23. ; 28. ;
24. ; 29. ;
25. ; 30. .
Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя:
31. ; 36. ;
32. ; 37. ;
33. ; 38. ;
34. ; 39. ;
35. ; 40. .
Исследовать функцию и построить график :
41. ; 46. ;
42. ; 47. ;
43. ; 48. ;
44. ; 49. ;
45. ; 50. .
Задание 4. Функции нескольких переменных.
Найти частные производные функции Z = Z(x,y)
61. Z = 2x3-3xy2+y5;
62. Z = x4+2x2-xy3 ;
63. Z = 5x-2x3y2+2y4;
64. Z = -x2+5xy5-2y3x;
65. Z = x3-3x2y+xy2-y3;
66. Z = 4x-7x4y+3y5;
67. Z = x4+2x2y2+y4;
68. Z = x3+3x2y+3xy2+y3;
69. Z = 6x3-5x2y3+x3y2;
70. Z = x6+2x3y2+y4.
Найти экстремумы функций:
71. Z = x3+8y3+6xy+5;
72. Z = x2+xy+y2-3x-6y;
73. Z = x2+y2+8x-2;
74. Z = y2+yx+x2-6y-9x;
75. Z = x2-xy+y2+9x-6y+20;
76. Z = 3x2-y2+4y+5;
77. Z = x2-4x+y2;
78. Z = x2+xy+2y2-x+y;
79. Z = 3x2-6x-y2+4y+8;
80. Z = x2+xy+x+2y2+2y.