- •II.Элементы функционального и комплексного анализа.
- •6. Формула включений и исключений.
- •Упражнения и задачи по теории множеств
- •III. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции.
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 2. Пределы
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 4. Приложения дифференциального исчисления
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 5. Функции нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •IV. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •Тема 1. Неопределенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Определенный интеграл
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •V. Дифференциальные уравнения.
- •Вопросы для самопроверки:
- •Задачи для самоконтроля
- •VI. Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •VII. Элементы теории вероятностей. Случайные события
- •Вопросы для самопроверки:
- •Сложные события Вопросы для самопроверки:
- •Повторение испытаний Вопросы для самопроверки:
- •Тема 12. Случайные величины Вопросы для самопроверки:
VII. Элементы теории вероятностей. Случайные события
Для успешного выполнения упражнений необходимо ознакомиться с элементами комбинаторики, в частности с таким понятием, как сочетания.
Сочетаниями из n элементов по m называются наборы (соединения), составленные из n элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним элементом. Например, сочетаниями из девяти первых натуральных чисел по 4 будет: {1;2;3;4},{1;2;5;4},{5;6;7;8},{1;3;5;9} и т.д. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m обозначается и вычисляется по формулам:
где
В частности, .
Последняя формула полезна, когда n-m<m. Например,
Задача 1. В ящике 9 мышей. Сколько есть способов отобрать четыре из них?
Решение: Искомое число есть число сочетаний из 9 по 4
Вопросы для самопроверки:
-
Сформулируйте классическое определение вероятностей случайного события.
-
Что такое сочетания, размещения, перестановки?
-
В каком случае случайные события образуют полную группу?
Сложные события Вопросы для самопроверки:
-
Что называется суммой двух событий?
-
Какие события называются несовместными?
-
Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.
-
Что называется произведением двух событий?
-
Каике события называются независимыми?
-
Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.
-
Что называют условной вероятностью?
-
Содержание формулы полной вероятности.
Повторение испытаний Вопросы для самопроверки:
1. Какая формула и в каких случаях позволяет вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществляется ровно К раз? Как нужно изменить формулу, если необходимо вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится не менее К1 и не более К2 раз.
Тема 12. Случайные величины Вопросы для самопроверки:
-
Что такое дискретная случайная величина?
-
Что называется функцией распределения? Применимо ли это понятие к дискретным случайным величинам?
-
Какие числовые характеристики случайных величин вы знаете?
-
Исследуйте формулу, задающую нормальное распределение непрерывной случайной величины, и дайте эскиз графика соответствующей функции (кривой Гаусса).
Задачи для самоконтроля:
1. В конверте 10 фотокарточек. Среди них 6 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди того, что них 3 нужные.
2. В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?
3. В группе 15 студентов, среди них 5 отличников. Наугад отобраны 4 студента. Найти вероятность того, что среди них 2 отличника.
4. У крольчихи – 8 крольчат, из них 4 белые. Наугад отобрано 2 кролика. Найти вероятность того, что среди них один белый.
5. В корзине 20 грибов среди них 6 белых. Наугад извлечены 4 гриба. Какова вероятность того, что все они белые?
6. В библиотеке 14 учебников по теории вероятностей. Среди них 4 в переплете. Библиотекарь наудачу взял 4 учебника. Какова вероятность того, что все они в переплете.
7. В конверте 9 лотерейных билетов, из них 6 выигрышных. Наугад извлечены 3 билета. Найти вероятность того, что среди них 1 выигрышный.
8. На клумбе растут 20 астр, из них 5 белых. В темноте сорвали 4 астры. Найти вероятность того, что среди них 2 белые.
9. В ящике 12 мышей. Среди них 8 белых. Наугад извлечено 4 мыши. Какова вероятность того, что все они белые.
10. В пенале 10 карандашей, из них 4 цветных. Наудачу извлечены 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них нет цветных.