Индивидуальные задания Вариант №10

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Как должны отличаться размеры двух геометрически подобных колоколов, чтобы их звучание отличалось на октаву.

Задача№2

Под каким углом к горизонту следует бросить камень массой 200 г со скоростью 20 м/с, чтобы попасть в заданную точку на расстоянии 20 м, если сила сопротивления воздуха равна , (А=0.1 Нс/м; В=2·10^-4 Нс²/м²)? Построить две траектории. Сравните со случаем, когда сопротивление воздуха не учитывается. Указание: использовать функцию fzero.

Задача№3

Привести уравнение движения спутника планеты к безразмерному виду. Составьте программу, которая бы выводила анимацию спутника его траекторию, текущее время движения и закрашенный сектор, заметаемый радиус-вектором планеты за малый промежуток времени (в несколько шагов). Предусмотрите вывод секториальной скорости (функция cross).

Проверьте выполнение второго закона Кеплера. Будет ли выполняться этот закон для сил притяжения, отличающихся от закона обратных квадратов (например, для силы упругости). В чем основное отличие траектории для этих взаимодействий?

Задача№4

На тело массой m=0,1 кроме возвращающей силы и силы трения , действует переменная возбуждающая сила , где. Каким будут колебания при начальных условиях? Построить графики смещения и скорости и фазовую траекторию в течение первых 50-100 периодов.

Задача№5

Очень часто нелинейные системы обнаруживают качественно новое поведение, по сравнению с их линейными аналогами. Исследуйте динамику системы трех нелинейно-связанных осцилляторов описываемой следующей системой уравнений: при малых μ на промежутке времени, во много раз превышающем максимальный период колебаний. Показать эффект обмена энергиями, когда возбужден один высокочастотный осциллятор, или два низкочастотных осциллятора. Рассмотреть случай резонанса частот .

Задача№6

Начертите силовые линии точечного магнитного диполя, напряженность которого равна .

Задача№7

В световоде типа «Градан» луч света искривляется и возвращается обратно к оси, благодаря тому, что показатель преломления убывает от оси к краям по закону , где =1.5, a=0.68 мм^-2 Пусть луч света входит в торец световода под углом . На каком расстоянии от оси будет находиться точка внутреннего отражения луча? Как зависит это расстояние от угла? Определите апертуру световода, т.е. максимальный угол падения луча, при котором луч еще не выходит из световода.

Указание: Согласно принципу Ферма, луч света выбирает путь, для которого время распространения между двумя точками минимально. Если показатель преломления , то данный принцип приводит к следующему дифференциальному уравнению: , позволяющему определить траекторию луча.